La secante de un ángulo puede ser calculada relacionando a los lados de un triángulo rectángulo. La secante es definida como la función recíproca del coseno, por lo que es igual a la longitud de la hipotenusa sobre la longitud del lado adyacente. La secante de los ángulos más importantes son obtenidos al usar las proporciones de los triángulos especiales conocidos.
A continuación, aprenderemos sobre la secante usando diagramas. Derivaremos una fórmula y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
Definición de la secante de un ángulo
La secante de un ángulo en un triángulo rectángulo es definida como la longitud de la hipotenusa dividida por la longitud del lado adyacente al ángulo.
Adicionalmente, también podemos definir a la secante de un ángulo como la función recíproca del coseno. Esto se debe a que el coseno es definido como el lado adyacente sobre la hipotenusa, por lo que al tomar su recíproco, obtenemos la secante.
$latex \sec (\theta)=\frac{1}{\cos}=\frac{H}{A}$
en donde, H es la hipotenusa y A es el lado adyacente.
Fórmula de la secante en triángulos rectángulos
Vamos a usar el siguiente triángulo rectángulo ABC que tiene un ángulo recto en C para encontrar la relación de la secante de un ángulo.
Usamos letras minúsculas para representar a las longitudes de los lados y usamos letras mayúsculas para representar a los ángulos del triángulo.
Por ejemplo, la letra a representa al lado que está opuesto al ángulo A, la letra b representa al lado que está opuesto al ángulo B y la letra c representa al lado que está opuesto al ángulo C. La secante de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa dividida por el lado adyacente:
| $latex \sec=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$ |
En el triángulo de arriba, tenemos $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$ y también $latex \sec(B)=\frac{c}{a}$.
Secantes para ángulos especiales comunes
Podemos usar las proporciones de los lados de triángulos especiales para encontrar los valores de las secantes de ángulos importantes. Por ejemplo, podemos considerar al triángulo isósceles rectángulo, el cual tiene los ángulos 45°-45°-90°.
Encontramos sus proporciones usando el teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$, pero en este caso, $latex a=b$, por lo que tenemos $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$. Concluimos que $latex c=a \sqrt{2}$. Entonces, la secante de 45° es igual a $latex \sqrt{2}$.
Adicionalmente, también usamos al triángulo rectángulo con ángulos 30°-60°-90°. Las proporciones de los lados de este triángulo son 1:$latex \sqrt{3}$:2. Usando estas proporciones, tenemos $latex \sec(30^{\circ})=\frac{2}{\sqrt{3}}$, lo cual es equivalente a $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$. También tenemos $latex \sec(60^{\circ})=2$.
Finalmente, podemos considerar a los ángulos 0 y 90°. Cuando el ángulo es 0, el lado adyacente al igual que la hipotenusa es igual a 1 en el círculo unitario, por lo que la secante de 0 es igual a 1.
Por otra parte, cuando el ángulo es 90°, el lado adyacente es igual a 0 y la hipotenusa es igual a 1. Sin embargo, no podemos dividir por 0, por lo que la secante de 90° es indefinida.
| Grados | Radianes | Secante |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | Indefinido |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex 2$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \sqrt{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{2\sqrt{3}}{3}$ |
| 0° | 0 | 1 |
Ejercicios de secante de un ángulo resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos usando la fórmula de la secante vista arriba. Cada uno de los siguientes ejercicios hacen referencia al triángulo rectángulo mostrado arriba, por lo que usamos la misma notación para los lados y los ángulos.
EJERCICIO 1
¿Cuál es el valor de b si es que tenemos que $latex \sec(A)=1.7$ y $latex c=5$?
Solución
Usamos al triángulo rectángulo que tenemos arriba y observamos la relación $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$. Entonces, usamos a esta relación junto con los valores dados para encontrar el valor de b:
$latex \sec(A)=\frac{c}{b}$
$latex 1.7=\frac{5}{b}$
$latex b=\frac{5}{1.7}$
$latex b=2.94$
El valor del lado b es igual a 2.94.
EJERCICIO 2
Si es que tenemos $latex a=8$ y $latex \sec(B)=1.44$, determina el valor de c.
Solución
Usando el triángulo rectángulo de arriba como referencia, tenemos $latex \sec(B)=\frac{c}{a}$. Usamos esta relación junto con los valores dados para determinar el valor de c:
$latex \sec(B)=\frac{c}{a}$
$latex 1.44=\frac{c}{8}$
$latex c=1.44(8)$
$latex c=11.52$
El valor de la hipotenusa es 11.52.
EJERCICIO 3
Si es que tenemos $latex c=2$ y $latex b=\sqrt{3}$, ¿cuál es el valor del ángulo A?
Solución
Usando el triángulo rectángulo de arriba como referencia, podemos formar la siguiente relación $latex \sec(A)=\frac{c}{b}$. Entonces, usando los valores dados, tenemos:
$latex \sec(A)=\frac{c}{b}$
$latex \sec(A)=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$latex \sec(A)=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Usando una calculadora con la función $latex {{\sec}^{-1}}$ o usando la tabla de arriba, sabemos que tenemos:
$latex A=30$°
El águlo A mide 30°.
→ Calculadora de Secante (Grados y Radianes)
Ejercicios de secante de un ángulo para resolver
Usa lo aprendido sobre la secante de un ángulo para resolver los siguientes ejercicios. Estos ejercicios hacen referencia al triángulo rectángulo visto arriba, por lo que usan la misma notación para los lados y los ángulos.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre cosecantes, secantes y cotangentes? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
