Ortocentro de un Triángulo – Definición, Fórmulas y Ejemplos

El ortocentro de un triángulo es un punto que representa la intersección de las tres alturas del triángulo. Por su parte, las alturas son las líneas perpendiculares que conectan a los vértices con sus lados opuestos.

En este artículo, miraremos más detalles sobre el ortocentro de un triángulo. Aprenderemos cómo determinar su posición y resolveremos algunos ejemplos de práctica.

GEOMETRÍA
ortocentro de un triángulo

Relevante para

Aprender sobre el ortocentro de un triángulo.

Ver definición

GEOMETRÍA
ortocentro de un triángulo

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Definición del ortocentro de un triángulo

El ortocentro de un triángulo es el punto en donde las tres alturas del triángulo se intersecan. A su vez, recordemos que las alturas del triángulo son las líneas perpendiculares que conectan a un vértice con el lado opuesto. El siguiente es un diagrama del ortocentro en un triángulo:

ortocentro de un triángulo

La ubicación del ortocentro varía dependiendo del tipo de triángulo. Por ejemplo, para triángulos equiláteros, el ortocentro se encuentra en la misma posición que el centroide. Sin embargo, para triángulos obtusos, el ortocentro se encuentra fuera del triángulo.

Ortocentro de un triángulo agudo

Para todos los triángulos agudos, el ortocentro se ubica dentro del triángulo. Recordemos que un triángulo agudo es un triángulo que tiene todos sus ángulos internos con una medida menor a 90°.

ortocentro de un triángulo agudo

Ortocentro de un triángulo obtuso

Para todos los triángulos obtusos, el ortocentro se ubica fuera del triángulo. Recordemos que un triángulo obtuso es un triángulo que tiene un ángulo interno con una medida mayor a 90°.

ortocentro de un triángulo obtuso

Ortocentro de un triángulo rectángulo

Para todos los triángulos rectángulos, el ortocentro se ubica en el vértice del triángulo rectángulo. Recordemos que un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo de 90°.

ortocentro de un triángulo rectángulo

Ortocentro de un triángulo equilátero

Para todos los triángulos equiláteros, el ortocentro se ubica en la misma posición del centroide del triángulo. Recordemos que los triángulos equiláteros se caracterizan por tener todos sus lados con la misma longitud.

ortocentro de un triángulo equilátero

Fórmula del ortocentro de un triángulo

La fórmula del ortocentro nos permite encontrar las coordenadas del ortocentro de un triángulo. Para derivar esta fórmula vamos a usar el siguiente triángulo ABC.

ortocentro del triángulo con coordenadas de vértices

En este triángulo, AD, BE y CF son las alturas y A($latex x_{1},~y_{1}$), B($latex x_{2},~y_{2}$), C($latex x_{3},~y_{3}$) son los vértices. El punto O es el ortocentro.

Entonces, vamos a empezar calculando la pendiente de los lados del triángulo usando la fórmula de la pendiente:

$latex m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Para calcular la pendiente de las alturas del triángulo, podemos considerar que las alturas son las líneas perpendiculares a los lados. Además, recordamos que podemos calcular la línea perpendicular a otra línea de la siguiente forma:

pendiente de línea perpendicular $latex =-\frac{1}{m}$

en donde, m es la pendiente de la línea original.

Ahora, vamos a representar a la pendiente de la línea AC como $latex m_{AC}$ y tenemos:

$latex m_{AC}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}$

Y también tenemos:

$latex m_{BC}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}$

Entonces, las pendientes de las alturas son:

Pendiente de BE: $latex m_{BE}=-\frac{1}{m_{AC}}$

Pendiente de AD: $latex m_{AD}=-\frac{1}{m_{BC}}$

Si es que usamos la forma pendiente-punto de una línea recta, podemos encontrar las ecuaciones de las líneas que pasan por BE y AD. Entonces, tenemos:

$latex m_{BE}=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}$

$latex m_{AD}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}$

Si es que conocemos los valores de $latex (x_{1},~y_{1})$ y $latex (x_{2},~y_{2})$, podemos resolver las ecuaciones para x y y, las cuales son las coordenadas del ortocentro.


Encontrar el ortocentro de un triángulo gráficamente

Si es que no conocemos las coordenadas de los vértices del triángulo, podemos encontrar al ortocentro gráficamente. El ortocentro de un triángulo puede ser graficado geométricamente al trazar dos alturas y encontrar su punto de intersección.

Tenemos que determinar las perpendiculares (alturas) desde dos vértices hasta los lados opuestos. Entonces, seguimos los siguientes pasos usando un compás:

Paso 1: Usamos el vértice B como centro y usamos un radio igual a BC. Con ese radio, trazamos un arco en el lado AC para formar el punto E.

Paso 2: Usamos el vértice C con el mismo radio igual a BC y trazamos un arco en el lado AB para formar el punto D.

Paso 3: Trazamos arcos intersecantes desde B y D usando el radio BD para formar el punto F y trazamos el segmento CF.

Paso 4: Trazamos arcos intersecantes desde C y E usando el radio CE para formar el punto G y trazamos el segmento BG.

Paso 5: Encuentra el punto de intersección de los segmentos CF y BG.

CF y BG son perpendiculares a los lados AB y AC respectivamente. Esto significa que son dos alturas del triángulo. Por lo tanto, el punto de intersección es el ortocentro del triángulo.

diagrama para dibujar el ortocentro de un triángulo

Ejemplos resueltos del ortocentro de un triángulo

Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar el ortocentro de un triángulo aplicando la fórmula del ortocentro.

EJEMPLO 1

Encuentra las pendientes de los lados del siguiente triángulo que tiene los vértices A(5, 7), B(2, 3) y C(6, 4).

triángulo con coordenadas de vértices

Solución: Usamos la fórmula de la pendiente para encontrar las pendientes de cada uno de los lados del triángulo con las siguientes coordenadas:

  • $latex (x_{1},~y_{1})=(5, ~7)$
  • $latex (x_{2},~y_{2})=(2,~3)$
  • $latex (x_{3},~y_{3})=(6,~4)$

Pendiente de AC:

$latex m_{AC}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}$

$latex m_{AC}=\frac{4-7}{6-5}$

$latex m_{AC}=-3$

Pendiente de BA:

$latex m_{BA}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$

$latex m_{BA}=\frac{7-3}{5-2}$

$latex m_{BA}=\frac{4}{3}$

Pendiente de BC:

$latex m_{BC}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}$

$latex m_{BC}=\frac{4-3}{6-2}$

$latex m_{BC}=\frac{1}{4}$

EJEMPLO 2

Usando las pendientes encontradas en el Ejemplo 1, determina las coordenadas del ortocentro del triángulo.

triángulo con coordenadas de vértices y alturas

Solución: Tenemos que empezar determinando las pendientes de las líneas perpendiculares. Tenemos las siguientes pendientes:

  • $latex m_{AE}=$ perpendicular a BC
  • $latex m_{BF}=$ perpendicular a AC
  • $latex m_{CD}=$ perpendicular a AB

Recordando que la pendiente de una línea perpendicular es igual a $latex -\frac{1}{m}$, en donde, m es la pendiente de la línea original, tenemos:

$latex m_{AE}=-4$

$latex m_{BF}=\frac{1}{3}$

$latex m_{CD}=-\frac{3}{4}$

Ahora, podemos obtener las ecuaciones de las líneas perpendiculares usando la forma punto-pendiente de una línea: $latex y-y_{1}=m(x-x_{1})$.

Usando el punto C=(6, 4) y la pendiente de CD, tenemos:

$latex y-4=-\frac{3}{4}(x-6)$

$latex 4(y-4)=-3(x-6)$

$latex 4y-16=-3x+18$

$latex 3x+4y=34$

Usando el punto B=(2, 3) y la pendiente de BF, tenemos:

$latex y-3=\frac{1}{3}(x-2)$

$latex 3(y-3)=x-2$

$latex 3y-9=x-2$

$latex -x+3y=7$

Solo necesitamos dos ecuaciones para encontrar el punto de intersección. Usando cualquier método podemos resolver el sistema de dos ecuaciones y encontramos la solución $latex x=\frac{74}{18},~ y=\frac{55}{13}$.

Esta solución representa al punto de intersección de las líneas. Por lo tanto, las coordenadas del ortocentro son $latex (\frac{74}{18},~\frac{55}{13})$.


Véase también

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