Para multiplicar dos o más fracciones algebraicas, simplemente multiplicamos los numeradores y los denominadores separadamente. Luego, simplificamos la fracción resultante al eliminar factores comunes en el numerador y denominador.
A continuación, veremos algunos ejercicios de multiplicación de fracciones algebraicas. Además, exploraremos ejercicios de práctica para aplicar lo aprendido.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Resolver ejercicios de multiplicación de fracciones algebraicas.
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Cómo multiplicar dos o más fracciones algebraicas
Dos o más fracciones algebraicas pueden ser multiplicadas al multiplicar a sus numeradores y a sus denominadores separadamente.
Por ejemplo, si tenemos las fracciones $latex \frac{a}{b}$ y $latex \frac{x}{y}$, podemos multiplicarlas de la siguiente forma:
$$\frac{a}{b}\times \frac{x}{y}=\frac{a\times x}{b\times y}$$
Entonces, podemos encontrar el producto de dos o más fracciones algebraicas al seguir los siguientes pasos:
1. Multiplicar los numeradores.
2. Multiplicar los denominadores.
3. Simplificar la fracción resultante.
Eliminamos los factores comunes en el numerador y denominador.
Ejercicios resueltos de producto de fracciones algebraicas
EJERCICIO 1
Multiplique las siguientes fracciones algebraicas:
$$ \frac{2a}{3b^3} \times \frac{3b^2}{4a}$$
Solución
La fracción resultante del producto (o multiplicación) de dos fracciones algebraicas, es el producto de los numeradores dividido entre la multiplicación de sus denominadores:
$$ \frac{2a}{3b^3} \cdot \frac{3b^2}{4a} = \frac{(2a)\cdot (3b^2)}{(3b^3) \cdot (4a)}$$
Simplificando los factores semejantes en numerador y denominador nos queda:
$$ =\frac{(1) \cdot (1)}{(b) \cdot (2)} $$
El resultado final es:
$$ \frac{1}{2b} $$
EJERCICIO 2
Encuentre el resultado del siguiente producto de fracciones algebraicas:
$$ \frac{7x+7}{10x+50} \cdot \frac{5x+25}{14} $$
Solución
Factorizamos numerador y denominador de cada una de las fracciones indicadas:
$$ \frac{7(x+1)}{10(x+5)} \cdot \frac{5(x+5)}{2 \cdot 7} $$
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador:
$$ \frac{7(x+1) \cdot 5(x+5)}{10(x+5) \cdot 2 \cdot 7} $$
Simplificamos o cancelamos factores semejantes entre el numerador y el denominador:
$$ \frac{(x+1)}{2 \cdot 2 } $$
El resultado final es:
$$ \frac{(x+1)}{4} $$
EJERCICIO 3
Simplificar lo mas posible el siguiente producto de tres fracciones algebraicas:
$$ \frac{10}{a} \cdot \frac{2a}{b^2} \cdot \frac{3b}{20} $$
Solución
Multiplicamos numeradores entre si y denominadores entre si:
$$ \frac{10 \cdot 2a \cdot 3b}{a \cdot b^2 \cdot 20} $$
Simplificamos:
$$ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 2} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot b \cdot 1} $$
El resultado final es:
$$ \frac{3}{b} $$
EJERCICIO 4
Efectuar el siguiente producto de fracciones:
$$ \frac{x^3 + 2x^2 + x}{a^2 – b^2} \cdot \frac{a – b}{x^2 + x} $$
Solución
Se multiplican numeradores y denominadores entre si:
$$ \frac{(x^3 + 2x^2 + x)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x^2 + x)} $$
Se factoriza lo mas posible numerador y denominador:
$$ =\frac{x(x^2 + 2x + 1)(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$
Podemos factorizar la expresión $latex x^2+2x+1$ reconociendo que esto es igual a $latex (x+1)^2$:
$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a^2 – b^2)(x + 1)x} $$
Teniendo en cuenta que una diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia nos queda:
$$ =\frac{x(x+1)^2(a – b)}{(a + b)(a – b)(x + 1)x} $$
Ahora simplificamos o cancelamos factores semejantes entre numerador y denominador:
$$ =\frac{1(x+1)(1)}{(a + b)(1)(1)1} $$
Finalmente nos queda:
$$ \frac{(x+1)}{(a + b)} $$
EJERCICIO 5
Hallar la solución del siguiente producto de fracciones algebraicas:
$$ \frac{a^2-4a – 5}{2a^2-50} \cdot \frac{2a-2}{3a+3} $$
Solución
Multiplicamos numeradores entre si y denominadores entre si:
$$ \frac{(a^2-4a – 5)(2a-2)}{(2a^2-50)(3a+3)} $$
Sustituimos el primer factor del numerador que es un polinomio cuadrático por el producto de dos binomios:
$$ (a^2-4a – 5) = (a-5)(a+1) $$
y sacamos factor común donde sea posible:
$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a^2-25))3(a+1)} $$
Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados en $latex (a^2-25)$:
$$ \frac{(a-5)(a+1)2(a-1)}{(2(a – 5)(a+5))3(a+1)} $$
Simplificamos
$$ \frac{(a-1)}{(a+5)3} $$
El resultado final es:
$$ \frac{(a-1)}{3(a+5)} $$
EJERCICIO 6
Determine el resultado de multiplicar las expresiones algebraicas que se muestran a continuación. Se sugiere reducirlas primero a fracciones algebraicas y luego multiplicar:
$$ (1 + \frac{a}{b})(a – \frac{a^2}{a+b}) $$
Solución
La expresión dada es equivalente a:
$$ ( \frac{1}{1} + \frac{a}{b})( \frac{a}{1} – \frac{a^2}{a+b}) $$
En primer lugar se suman y se restan las fracciones en cada una de las expresiones entre los paréntesis:
$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{a^2 + ab -a^2}{a+b}) $$
Simplificando nos queda:
$$ (\frac{b+a}{b})( \frac{ ab }{a+b}) $$
Ahora multiplicamos las fracciones de la forma habitual, numerador por numerador y denominador por denominador:
$$ \frac{(b+a)ab}{b(a+b)} $$
Después de simplificar, es decir cancelar factores iguales en numerador y denominador, nos queda que la respuesta final es:
$$ a $$
EJERCICIO 7
Reducir las expresiones entre paréntesis a la forma de fracción algebraica y luego efectuar la multiplicación de las mismas
$$ (x – \frac{x}{y+1})( x + \frac{x}{y}) $$
Solución
Tomando en cuenta que $latex x = \frac{x}{1} $ se efectúa la resta de fracciones en el primer paréntesis y la suma en el segundo:
$$ (\frac{x(y+1) -x}{y+1})( \frac{xy + x}{y}) $$
Desarrollamos el primer numerador y sacamos factor común x en el segundo numerador:
$$ (\frac{xy+x -x}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$
Simplificamos:
$$ (\frac{xy}{y+1})( \frac{x(y + 1)}{y}) $$
Multiplicamos las fracciones que están entre paréntesis:
$$ \frac{x^2y(y+1)}{(y+1)y} $$
Se cancelan los factores iguales entre numerador y denominador, quedando como resultado final:
$$ x^2 $$
EJERCICIO 8
Resolver el producto de las tres fracciones algebraicas que se muestran a continuación:
$$ \frac{5}{x} \cdot \frac{2x}{b^2} \cdot \frac{3b}{10} $$
Solución
Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí:
$$ \frac{30xb}{10xb^2} $$
Después de simplificar se obtiene que la respuesta es:
$$ \frac{3}{b} $$
EJERCICIO 9
Resolver lo siguiente:
$$ (1+\frac{x}{y})(1- \frac{x}{y}) $$
Solución
Tenemos el producto de una suma por una diferencia, que es igual a una diferencia de cuadrados:
$$ 1^2-(\frac{x}{y})^2 $$
En la expresión anterior tenemos una fracción algebraica elevada al cuadrado, lo que equivale a multiplicar la fracción por sí misma:
$$ \frac{1}{1}-\frac{x^2}{y^2} $$
Se resuelve la resta de fracciones algebraicas y nos queda:
$$ \frac{y^2-x^2}{y^2} $$
Factorizamos el numerador usando nuevamente el producto notable de la diferencia de cuadrados, para obtener como resultado final:
$$ \frac{(y-x)(x+y)}{y^2} $$
EJERCICIO 10
Multiplicar:
$$ (\frac{15x^3 + 15x^2}{20x^2-30x})(\frac{4x-6}{x+1}) $$
Solución
Antes de efectuar la multiplicación se saca factor común en numeradores y denominadores:
$$ \frac{15x^2(x + 1)}{10x(2x-3)} \cdot \frac{2(2x-3)}{x+1} $$
Se multiplican las fracciones:
$$ \frac{30x^2(x + 1)(2x-3)}{10x(2x-3)(x+1)} $$
Cancelando los factores iguales entre numerador y denominador se tiene el resultado final:
$$ \frac{3x}{1} = 3x $$
Ejercicios de producto de fracciones algebraicas para resolver
¿Cuál es el resultado al multiplicar las fracciones y simplificar? $$\frac{5x^2}{x^2-2x} \cdot \frac{x^2-4}{x^2+2x} $$
Escribe el resultado en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
