Incentro de un Triángulo – Definición, Fórmulas y Ejemplos

El incentro de un triángulo es un punto que representa la intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Además, el incentro también puede ser considerado como el centro de un círculo inscrito en el triángulo. Podemos encontrar las coordenadas del incentro usando una fórmula.

En este artículo, aprenderemos sobre el incentro de un triángulo detalladamente. Conoceremos su fórmula y la usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
propiedades del incentro de un triángulo

Relevante para

Aprender sobre el incentro de un triángulo.

Ver definición

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Definición del incentro de un triángulo

El incentro de un triángulo es el punto en donde las bisectrices de los tres ángulos internos del triángulo se intersecan. A su vez, recordemos que las bisectrices son las líneas o segmentos que dividen a un ángulo en dos partes iguales. El siguiente es un diagrama del incentro de un triángulo:

incentro de un triangulo

Alternativamente, también podemos definir al incentro de un triángulo como el centro de un círculo inscrito en el triángulo. El círculo inscrito es el círculo más grande que cabe dentro del triángulo.

incentro de un triángulo con círculo inscrito

El incentro siempre se ubica dentro del triángulo sin importar el tipo de triángulo que tengamos. Sin embargo, una característica importante de los triángulos equiláteros, es que el incentro, el ortocentro, el circuncentro y el centroide se encuentran en la misma posición.


Propiedades del incentro de un triángulo

propiedades del incentro de un triángulo

Propiedad 1: El incentro de un triángulo siempre está ubicado dentro del triángulo sin importar el tipo de triángulo que tengamos.

Propiedad 2: Si es que I es el incentro del triángulo, entonces, los segmentos AE, y AF deben tener la misma longitud. Lo mismo sucede con los segmentos BE y BG, y con los segmentos CG y CF.

Propiedad 3: Si es que I es el incentro del triángulo, entonces, los ángulos ∠ABI y ∠CBI son iguales. Lo mismo sucede con los ángulos ∠BAI y ∠CAI, y con los ángulos ∠ACI y ∠BCI.

Propiedad 4: Los lados del triángulo son tangentes al círculo inscrito, por lo que IE, IF e IG son iguales al radio del círculo y son llamados los inradios.

Propiedad 5: El área del triángulo puede ser calculada usando la fórmula A=sr, en donde, r es el inradio del triángulo y s es el semiperímetro. A su vez, el semiperímetro es $latex s=\frac{a+b+c}{2}$.


Fórmula del incentro de un triángulo

Podemos calcular las coordenadas del incentro de un triángulo usando la fórmula del incentro. Para ilustrar esta fórmula vamos a usar el siguiente triángulo ABC.

incentro de un triángulo con coordenadas de vértices

$$\left(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c},~\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}\right)$$

en donde, $latex A(x_{1},~y_{1})$, $latex B(x_{2},~y_{2})$ y $latex C(x_{3},~y_{3})$ son las coordenadas de los tres vértices del triángulo y a, b, c son los lados opuestos a cada vértice.


Encontrar el incentro de un triángulo gráficamente

Si es que no conocemos las coordenadas de los vértices del triángulo, podemos encontrar al incentro gráficamente. Podemos lograr esto al trazar las bisectrices y encontrar el punto de intersección.

Entonces, seguimos los siguientes pasos usando un compás:

Paso 1: Usamos el vértice B como centro y cualquier radio para trazar un arco y cortar a ambos lados del triángulo. Con eso formaremos los puntos D y E.

Paso 2: Usamos el mismo radio y desde los puntos D y E y trazamos dos arcos para formar el punto de intersección F.

Paso 3: Trazamos una línea desde el punto B hasta el punto F. Esa línea es la bisectriz del ángulo B.

Paso 4: Repetimos el mismo proceso usando otro vértice del triángulo para trazar otra bisectriz.

Paso 5: Encuentra el punto de intersección de dos bisectrices.

Las dos líneas trazadas son dos bisectrices del triángulo. Por lo tanto, el punto de intersección es el incentro del triángulo.

encontrar el incentro graficamente

Ejemplos resueltos del incentro de un triángulo

Los siguientes ejemplos son resueltos aplicando lo aprendido sobre el incentro de un triángulo.

EJEMPLO 1

Determina la medida del ángulo x si es que I representa al incentro del siguiente triángulo.

ejercicio 1 de incentro de un triángulo

Solución: Dado que I es el incentro del triángulo, sabemos que los segmentos que dividen a los ángulos son las bisectrices. Entonces, los segmentos dividen a los ángulos en dos partes iguales.

Esto significa que los tres ángulos del triángulo son:

2×35°=70°

2×31°=62°

x=2x

Los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°, por lo que tenemos:

70°+62°+2x=180°

2x=180°-70°-62°

2x=48°

x=24°

EJEMPLO 2

Tenemos que el área de un triángulo es 15 unidades cuadradas y su perímetro es igual a 18 unidades. Si es que trazamos un círculo inscrito, ¿cuál sería el radio del círculo?

Solución: Tenemos la siguiente información:

  • Área del triángulo = 15 u²
  • Perímetro del triángulo = 18 u

Sabemos que el área de un triángulo puede ser calculada como A=sr, en donde, s es el semiperímetro y r es el inradio. De la información dada, fácilmente podemos calcular el semiperímetro, el cual es 9 unidades. Entonces, tenemos:

A=sr

15=9r

r=1.67

Entonces, el radio del círculo inscrito es 1.67 unidades.

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EJEMPLO 3

El siguiente triángulo tiene los vértices A(0, 4), B(0, 1) y C(4, 4). Determina las coordenadas del incentro.

ejercicio 3 de incentro de un triángulo

Solución: Para calcular las coordenadas del incentro, necesitamos las coordenadas de los vértices y las longitudes de los lados.

Del diagrama, podemos fácilmente deducir que la longitud de b es 4 unidades y la longitud de c es 3 unidades. Usando estas longitudes y el teorema de Pitágoras, podemos encontrar la longitud de a:

a²=b²+c²

a²=4²+3²

a²=16+9

a²=25

a=5

Ahora, podemos usar la fórmula del incentro:

$$\left(\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c},~\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}\right)$$

$$=\left(\frac{0+0+3(4)}{5+4+3},~\frac{5(4)+4(1)+3(4)}{5+4+3}\right)$$

$$=\left(\frac{12}{12},~\frac{36}{12}\right)$$

$latex =(1,~3)$

Las coordenadas del incentro son (1, 3).


Véase también

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