La factorización de ecuaciones cuadráticas consiste en descomponer a la ecuación cuadrática y formar un producto de sus factores. La factorización puede ser considerada como el proceso reverso de la distribución de la multiplicación.

A continuación, aprenderemos sobre dos casos de factorización de ecuaciones cuadráticas. El primer caso se trata de ecuaciones cuadráticas con un coeficiente líder de 1 y el segundo caso se trata de ecuaciones cuadráticas con un coeficiente líder que es mayor que 1.

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factorización de ecuaciones cuadráticas

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Aprender a factorizar ecuaciones cuadráticas.

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factorización de ecuaciones cuadráticas

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Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

Podemos usar la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas que tienen la forma general a{{x}^2}+bc+c=0 con los siguientes pasos:

Paso 1: Simplificar la ecuación. Esto incluye eliminar paréntesis y fracciones si es que es necesario.

Paso 2: Ubicar a todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación si es que no lo están.

Paso 3: Obtén la factorización de la ecuación al separar el término del medio.

Paso 4: Cada factor contiene a una solución.

EJEMPLO 1

Resuelve la ecuación cuadrática 3({{x}^2}-2)=-3x.

Solución: Tenemos que eliminar los paréntesis y mover a todos los términos hacia la izquierda de la ecuación:

3({{x}^2}-2)=-3x

⇒  3{{x}^2}-6=-3x

⇒  3{{x}^2}-3x-6=0

Ahora, factorizamos la ecuación separando al término del medio (aprenderemos estos métodos más adelante):

⇒  3{{x}^2}-3x-6=0

⇒  (x+2)(3x-3)=0

Ahora, podemos encontrar la respuesta de cada factor:

⇒  (x+2)=0   y   (3x-3)=0

⇒  x=-2   y   x=1

EJEMPLO 2

Resuelve la ecuación cuadrática 3{{x}^2}-8x-5=0.

Solución: Aquí no tenemos nada para simplificar y todos los términos ya están en la izquierda. Entonces, tenemos que separar los términos del medio para factorizar (veremos estos métodos más adelante):

3{{x}^2}-8x-5=0

⇒  3x(x-3)+1(x-3)=0

⇒  (3x+1)(x-3)=0

Ahora, podemos resolver para cada factor:

⇒  (3x+1)=0   y   (x-3)=0

⇒  x=-\frac{1}{3}   y   x=3

EJEMPLO 3

Resuelve la ecuación ecuadrática {{(2x-3)}^2}=25.

Solución: Tenemos que aplicar el exponente para eliminar el paréntesis y simplficar. También, movemos todos los términos hacia la izquierda:

4{{x}^2}-12x+9-25=0

⇒  4{{x}^2}-12x-16=0

Simplificamos al dividir toda la ecuación por 4 y factorizamos:

⇒  {{x}^2}-3x-4=0

⇒  (x-4)(x+1)=0

Resolvemos en cada factor:

⇒  (x-4)=0   y   (x+1)=0

⇒  x=4   y   x=-1

Existen diferentes métodos que pueden ser usados para factorizar ecuaciones cuadráticas. Nuestro enfoque aquí será aprender a factorizar ecuaciones cuadráticas en las cuales el coeficiente de x² es o bien 1 o mayor que 1.

Aprenderemos a factorizar usando el método de prueba y error, el cual nos permitirá obtener los factores correctos para factorizar las ecuaciones cuadráticas.


Factorización de ecuaciones cuadráticas cuando el coeficiente de x² es igual a 1

Este es el caso más fácil de factorización de ecuaciones cuadráticas. Para factorizar ecuaciones cuadráticas de la forma {{x}^2}+bx+c, en donde el coeficiente líder es 1, tenemos que encontrar dos números de forma que al multiplicarlos, obtengamos la constante c y al sumarlos, obtengamos el coeficiente b.

Primer caso: Cuando b y c son ambos positivos

EJEMPLO 1

Factoriza y obtén la solución a la ecuación cuadrática {{x}^2}+6x+8=0.

Solución: Podemos formar una lista con los factores de 8: 1×8,  2×4.

Tenemos que encontrar los factores que tienen una suma de 6 y un producto de 8:

1+8≠6

2+4=6

Podemos verificar estos factores usando la propiedad distributiva:

(x+2)(x+4)={{x}^2}+2x+4x+8

={{x}^2}+6x+8

Entonces, ya hemos factorizado a la ecuación:

(x+2)(x+4)=0

Ahora, resolvemos para cada factor:

⇒  (x+2)=0   y   (x+4)=0

⇒  x=-2   y   x=-4

EJEMPLO 2

Resuelve la ecuación {{x}^2}+8x+15=0 usando factorización.

Solución: Los factores con un producto de 15 y una suma 8 son:

3×5=15   y   3+5=8

Usamos la propiedad distributiva para verificar:

(x+3)(x+5)={{x}^2}+3x+5x+15

={{x}^2}+8x+15

La ecuación factorizada es:

(x+3)(x+5)=0

Resolvemos cada factor:

⇒  (x+3)=0   y   (x+5)=0

⇒  x=-3   y   x=-5

Segundo caso: Cuando b es positivo y c es negativo

EJEMPLO

Resuelve la ecuación {{x}^2}+6x-7=0 por factorización.

Solución: Los factores de -7 son:  -1×7,  1×-7.

Encontramos los factores con un producto de -7 y una suma de 6:

-1+7=6

1-7≠6

Verificamos con la propiedad distributiva:

(x-1)(x+7)={{x}^2}-x+7x-7

={{x}^2}+6x-7

Ya hemos obtenido la factorización de la ecuación:

(x-1)(x+7)=0

Resolvemos para cada factor:

⇒  (x-1)=0   y   (x+7)=0

⇒  x=1   y    x=-7

Tercer caso: Cuando  y c son ambos negativos

EJEMPLO

Factoriza y resuelve la ecuación {{x}^2}-3x-10=0.

Solución: Los factores de -10 son:  -1×10,  1×-10,  -2×5, 2×-5.

Identificamos los factores que produzcan un producto de -10 y una suma de -3:

2-5=-3

Usando la propiedad distributiva, podemos verificar los factores:

(x+2)(x-5)={{x}^2}+2x-5x-10

={{x}^2}-3x-10

Entonces, la factorización de la ecuación es:

(x+2)(x-5)=0

Resolvemos a cada factor:

⇒  (x+2)=0   y   (x-5)=0

⇒  x=-2   y    x=5

Cuarto caso: Cuando  es negativo y c es positivo

EJEMPLO

Resuelve la ecuación {{x}^2}-9x+14=0 por factorización.

Solución: Empezamos encontrando los factores de 14:  -1×-14,  -2×-7.

Los factores con un producto de 14 y una suma de -9 son:

-2-7=-9

-1-14≠-9

Verificando con la propiedad distributiva, tenemos:

(x-2)(x-7)={{x}^2}-2x-7x+14

={{x}^2}-9x+14

La factorización es:

(x-2)(x-7)=0

Resolviendo para cada factor, tenemos:

⇒  (x-2)=0   y   (x-7)=0

⇒  x=2   y    x=7

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Factorización de ecuaciones cuadráticas cuando el coeficiente de x² es mayor que 1

Los métodos que acabamos de ver no funcionan cuando el coeficiente líder es diferente de 1. Para estos casos, tenemos que tener en cuenta el coeficiente de {{x}^2} y los factores de c para encontrar números que tienen una suma igual a b.

EJEMPLO 1

Resuelve la ecuación 2{{x}^2}-16x+30=0 por factorización.

Solución: Tenemos que determinar si es que hay factores comunes en la expresión. En este caso, podemos extraer el 2:

⇒   2({{x}^2}-8x+15)=0

Podemos factorizar a  ({{x}^2}-8x+15). Los factores de 15 son: -1×-15 ,  -3×-5.

Determinamos cuáles factores producen una suma de -8:

-3-5=-8

-1-15≠-8

Usamos la propiedad distributiva para verificar:

2(x-3)(x-5)=2({{x}^2}-3x-5x+15)

=2({{x}^2}-8x+15)

=2{{x}^2}-16x+30

La ecuación factorizada es:

2(x-3)(x-5)=0

Resolvemos para cada factor:

⇒  (x-3)=0   y   (x-5)=0

⇒  x=3   y    x=5

EJEMPLO 2

Factoriza y resuelve la ecuación cuadrática 7{{x}^2}+18x+11=0.

Solución: Tenemos que encontrar los factores de 7 y 11:

1×7=7

1×11=11

Ahora, usamos la la propiedad distributiva para verificar los factores:

(7x+1)(x+11)\ne 7{{x}^2}+18x+11

(7x+11)(x+1)=7{{x}^2}+18x+11

La factorización de la ecuación cuadrática es:

(7x+11)(x+1)=0

Resolvemos para cada factor:

⇒  (7x+11)=0   y   (x+1)=0

⇒  x=-\frac{11}{7}   y    x=-1

EJEMPLO 3

Obtén la factorización y resuelve la ecuación 9{{x}^2}+6x+1=0.

Solución: Usando el mismo proceso de los anteriores ejercicios, podemos obtener la factorización de la ecuación cuadrática:

(3x+1)(3x+1)=0

Resolvemos para cada factor:

⇒  (3x+1)=0   y   (3x+1)=0

⇒  x=-\frac{1}{3}

EJEMPLO 4

Resuelve la ecuación 6{{x}^2}-7x+2=0 por factorización.

Solución: En este caso, es conveniente que empecemos separando el término del medio:

6{{x}^2}-4x-3x+2=0

Siguiendo el mismo proceso de los ejercicios anteriores, tenemos:

2x(3x-2)-1(3x-2)=0

(3x-2)(2x-1)=0

Resolviendo para cada factor, tenemos:

⇒  (3x-2)=0   y   (2x-1)=0

⇒  x=\frac{2}{3}    y    x=\frac{1}{2}


Véase también

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