Encontrar máximos y mínimos con la segunda derivada

Los puntos máximos y mínimos de una función pueden ser encontrados usando la primera derivada de la función. Para esto, recordamos que en los puntos máximos y mínimos, la pendiente es igual a cero. Luego, usamos la segunda derivada para identificar la naturaleza de cada uno de los puntos.

A continuación, aprenderemos a encontrar los puntos máximos y mínimos usando la segunda derivada de la función. Veremos algunos ejemplos para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Puntos máximos y mínimos de una curva

Relevante para

Aprender a encontrar los puntos máximos y mínimos de funciones.

Ver proceso

CÁLCULO
Puntos máximos y mínimos de una curva

Relevante para

Aprender a encontrar los puntos máximos y mínimos de funciones.

Ver proceso

¿Cómo encontrar el punto máximo con la segunda derivada?

Para encontrar el punto máximo de una función, tenemos que empezar usando la primera derivada para determinar todos los puntos estacionarios de la función.

Podemos lograr esto considerando que la pendiente en los puntos estacionarios de una función es igual a cero. Entonces, podemos formar una ecuación con la derivada y encontrar los valores de x.

Luego, usamos la segunda derivada para identificar al punto máximo. En un punto máximo, la segunda derivada es menor que cero, es decir, es negativa.

La segunda derivada es negativa en un punto máximo, ya que la pendiente (la primera derivada) es positiva hasta alcanzar el punto máximo y luego es negativa. Es decir, la derivada decrece cerca al punto máximo como vemos en el diagrama:

Diagrama del punto máximo de una función

En resumen, encontramos el punto máximo de una función con los siguientes pasos:

Paso 1: Calcular la primera derivada de la función.

Paso 2: Usar la derivada para obtener los puntos estacionarios. Entonces, formamos la ecuación $latex \frac{dy}{dx}=0$ y resolvemos para x.

Paso 3: Usar la segunda derivada para identificar al punto máximo. Para que el punto sea un máximo, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}<0$.

Paso 4: Con la coordenada en x del paso 3, encontramos la coordenada en y del punto máximo.


¿Cómo encontrar el punto mínimo con la segunda derivada?

Para encontrar el punto mínimo de una función, usamos la primera derivada para encontrar los puntos estacionarios. Entonces, formamos una ecuación con la derivada y resolvemos para x.

Luego, usamos la segunda derivada para identificar al punto mínimo. En un punto mínimo, la segunda derivada es mayor que cero, es decir, es positiva.

La segunda derivada es positiva en un punto mínimo, ya que la pendiente (la primera derivada) es negativa hasta alcanzar el punto mínimo y luego es positiva. Es decir, la derivada crece cerca al punto máximo como vemos en el diagrama:

Diagrama del punto mínimo de una función

En resumen, podemos encontrar las coordenadas del punto mínimo de una función con los siguientes pasos:

Paso 1: Calcular la primera derivada de la función.

Paso 2: Encontrar los puntos estacionarios usando la derivada. Para esto, formamos la ecuación $latex \frac{dy}{dx}=0$ y resolvemos para x.

Paso 3: Usar la segunda derivada para identificar al punto mínimo. Cuando tenemos un punto mínimo, debemos tener $latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$.

Paso 4: Usar la coordenada en x del paso 3 para encontrar la coordenada en y del punto mínimo.


Ejemplos resueltos de máximos y mínimos con la segunda derivada

Los siguientes ejemplos son resueltos aplicando todo lo aprendido sobre los puntos máximos y puntos mínimos de una función. Cada ejemplo tiene una solución detallada.

EJEMPLO 1

¿Cuáles son las coordenadas del punto máximo de la función $latex f(x)=-x^2+2x+2$?

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=-x^2+2x+2$

$latex f'(x)=-2x+2$

Paso 2: Formamos una ecuación con la derivada de la función y encontramos los valores de x:

$latex -2x+2=0$

$latex -2x=-2$

$latex x=1$

Paso 3: El valor de x encontrado corresponde a un punto estacionario. Usamos la segunda derivada para verificar si es que el punto es un máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$

Dado que $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, confirmamos que el punto es un máximo

Paso 4: Usamos $latex x=1$ en la función para encontrar la coordenada en y del punto máximo:

$latex y=-x^2+2x+2$

$latex y=-(1)^2+2(1)+2$

$latex y=3$

Las coordenadas del punto máximo son (1, 3).

EJEMPLO 2

Encuentra las coordenadas del punto mínimo de la función $latex f(x)=x^2+2x-3$.

Paso 1: Tenemos que encontrar la derivada de la función. Su derivada es:

$latex f(x)=x^2+2x-3$

$latex f'(x)=2x+2$

Paso 2: Encontrando los valores de x de la ecuación formada por la derivada, tenemos:

$latex 2x+2=0$

$latex 2x=-2$

$latex x=-1$

Paso 3: Usamos la segunda derivada para determinar la naturaleza del punto estacionario encontrado:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2$

Dado que $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, el punto es un punto mínimo.

Paso 4: Usamos $latex x=-1$ en la función para encontrar la coordenada en y del punto mínimo:

$latex y=x^2+2x-3$

$latex y=(-1)^2+2(-1)-3$

$latex y=-4$

Las coordenadas del punto mínimo de la función son (-1, -4).

EJEMPLO 3

Encuentra las coordenadas del punto máximo de la función $latex f(x)=2x^3-6x-4$.

Paso 1: La derivada de la función es:

$latex f(x)=2x^3-6x-4$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Paso 2: Formamos una ecuación con la derivada y encontramos los valores de x:

$latex 6x^2-6=0$

$latex 6x^2=6$

$latex x^2=\sqrt{1}$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Paso 3: En este caso, encontramos dos puntos estacionarios. Entonces, vamos a usar la segunda derivada para determinar cuál es el punto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$. Entonces, $latex x=-1$ es el punto máximo.

Paso 4: La coordenada en y del punto máximo es:

$latex y=2x^3-6x-4$

$latex y=2(-1)^3-6(-1)-4$

$latex y=0$

El punto máximo tiene las coordenadas (-1, 0).

EJEMPLO 4

¿Cuáles son las coordenadas del punto mínimo de $latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$?

Paso 1: Tenemos la siguiente derivada:

$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex f'(x)=-x^2+2x+3$

Paso 2: Usando la derivada, formamos una ecuación y determinamos los valores de x para encontrar los puntos estacionarios:

$latex -x^2+2x+3=0$

$latex -(x-3)(x+1)=0$

$latex x=3~~$ o $latex ~~x=-1$

Paso 3: Usamos la segunda derivada para encontrar al punto mínimo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$

Si es que $latex x=3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ y si es que $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, $latex x=-1$ es el punto mínimo.

Paso 4: La coordenada en y del punto mínimo es:

$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$

$latex y=-\frac{5}{3}$

Las coordenadas del punto mínimo de la función son $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.

EJEMPLO 5

Encuentra el punto máximo y el punto mínimo de la función $latex f(x)=(x-2)^3-3x$.

Paso 1: Podemos derivar la función de la siguiente forma:

$latex f(x)=(x-2)^3-3x$

$latex f'(x)=3(x-2)^2-3$

$latex f'(x)=3x^2-12x+9$

Paso 2: Los puntos estacionarios de la función son:

$latex 3(x^2-4x+3)=0$

$latex 3(x-3)(x-1)=0$

$latex x=3~~$ o $latex ~~x=1$

Paso 3: Determinamos la naturaleza de los puntos estacionarios usando la segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x-12$

  • Cuando $latex x=3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, por lo que este es el punto mínimo.
  • Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que este es el punto máximo.

Paso 4: Las coordenadas en y de los puntos mínimos y máximos son:

  • Para el mínimo $latex x=3$, tenemos $latex y=((3)-2)^3-3(3)=-8$.
  • Para el máximo $latex x=1$, tenemos $latex y=((1)-2)^3-3(1)=-4$.

Las coordenadas del punto mínimo son (3, -8) y las coordenadas del punto máximo son (1, -4).

EJEMPLO 6

Si es que lados AB y BC en el siguiente triángulo varían de forma que su suma siempre es igual a 6 cm, ¿cuál es el área máxima del triángulo?

punto máximo de una función ejercicio 6

Podemos resolver este problema al encontrar una ecuación para el área del triángulo en términos del lado x.

El problema nos dice que la suma de los lados AB y BC es igual a 6. Además, el lado AB es igual a x. Entonces, tenemos:

$latex AB+BC=6$

$latex x+BC=6$

$latex BC=6-x$

Usando la fórmula del área de un triángulo, tenemos lo siguiente:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

Ahora, podemos usar la función encontrada para determinar su punto máximo.

Paso 1: Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A'(x)=3-x$

Paso 2: El valor de x es:

$latex 3-x=0$

$latex x=3$

Paso 3: Verificamos si es que el punto es un punto máximo:

$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$

Dado que $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, el punto es un máximo.

Paso 4: Usamos $latex x=3$ para encontrar el área máxima:

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$

$latex A=\frac{9}{2}=4.5$

El área máxima del triángulo es 4.5 cm².


Máximos y mínimos con la segunda derivada – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando los procesos para encontrar máximos y mínimos de funciones usando la segunda derivada.

Determina las coordenadas del punto máximo de la función $latex f(x)=-2x^2-6$.

Escoge una respuesta






Encuentra las coordenadas del punto mínimo de $latex f(x)=3x^2-6x$.

Escoge una respuesta






¿Cuáles son las coordenadas del punto máximo de $latex f(x)=-3x^3+9x$?

Escoge una respuesta






Encuentra las coordenadas del punto mínimo de $latex f(x)=-1+4x+2x^2$.

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas y puntos estacionarios? Puedes mirar estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más