Máximos y mínimos con segunda derivada – Ejercicios resueltos

Para encontrar el punto máximo, tenemos que empezar encontrando todos los puntos estacionarios. Para esto, obtenemos la derivada de la función

$latex f(x)=-x^2+2x$

$latex f'(x)=-2x+2$

Ahora, formamos una ecuación con la derivada y encontramos los valores de x:

$latex -2x+2=0$

$latex -2x=-2$

$latex x=1$

El valor encontrado corresponde a un punto estacionario. Para verificar si es que el punto es un punto máximo, usamos la segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$

Dado que $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, el punto encontrado corresponde a un punto máximo.

Usando $latex x=1$ en la función, encontramos la coordenada en y del punto máximo:

$latex y=-x^2+2x$

$latex y=-(1)^2+2(1)$

$latex y=1$

El punto máximo tiene las coordenadas (1, 1).

Empezamos encontrando la derivada de la función, ya que la vamos a usar para encontrar los puntos estacionarios:

$latex f(x)=x^2+2x-1$

$latex f'(x)=2x+2$

Formamos una ecuación con la derivada y resolvemos para x:

$latex 2x+2=0$

$latex 2x=-2$

$latex x=-1$

Ahora, usamos la segunda derivada para verificar si el punto es un punto mínimo.

$latex f^{\prime \prime}(x)=2$

Dado que tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, el punto encontrado corresponde a un punto mínimo.

Finalmente, usamos $latex x=-1$ en la función para determinar la coordenada en y del punto:

$latex y=x^2+2x-1$

$latex y=(-1)^2+2(-1)-1$

$latex y=-2$

El punto mínimo de la función es (-1, -2).

Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=-x^3+3x+2$

$latex f'(x)=-3x^2+3$

Formando una ecuación con la derivada, podemos resolver para x para encontrar los puntos estacionarios:

$latex -3x^2+3=0$

$latex -3x^2=-3$

$latex x=\sqrt{3}$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Usando la segunda derivada, podemos determinar la naturaleza de los puntos encontrados:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$

Si es que $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, y si es que $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, $latex x=1$ es el punto máximo.

Usamos $latex x=1$ para encontrar la coordenada en y del punto máximo:

$latex y=-x^3+3x+2$

$latex y=-(1)^3+3(1)+2$

$latex y=4$

El punto máximo tiene las coordenadas (1, 4).

La derivada de la función es la siguiente:

$latex f(x)=x^3-3x-2$

$latex f'(x)=3x^2-3$

Ahora, usamos la derivada, formamos una ecuación y resolvemos para x:

$latex 3x^2-3=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Encontramos dos puntos estacionarios. Entonces, tenemos que usar la segunda derivada para determinar la naturaleza de estos puntos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$

Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$. Entonces, $latex x=1$ es el punto mínimo.

Encontramos la coordenada en y del punto mínimo usando $latex x=1$ en la función:

$latex y=x^3-3x-2$

$latex y=(1)^3-3(1)-2$

$latex y=-4$

El punto mínimo de la función es (1, -4).

La derivada de la función es:

$latex f(x)=2x^3-6x+5$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Podemos encontrar los valores de x de los puntos estacionarios formando una ecuación con la derivada:

$latex 6x^2-6=0$

$latex 6x^2=6$

$latex x^2=\sqrt{1}$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Ahora, usamos la segunda derivada para determinar la naturaleza de estos puntos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, por lo que $latex x=-1$ es el punto máximo.

Encontramos la coordenada en y del punto máximo de la siguiente forma:

$latex y=2x^3-6x$

$latex y=2(-1)^3-6(-1)$

$latex y=4$

El punto máximo tiene las coordenadas (-1, 4).

Encontramos la derivada de la función de la siguiente forma:

$latex f(x)=2x^3-6x-4$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Podemos encontrar los puntos estacionarios al formar una ecuación con la derivada y resolver para x:

$latex 6x^2-6=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ o $latex ~~x=-1$

Tenemos dos puntos estacionarios, por lo que usamos la segunda derivada para determinar su naturaleza:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$. Esto significa que $latex x=1$ es el punto mínimo.

Finalmente, encontramos la coordenada en y del punto:

$latex y=2x^3-6x-4$

$latex y=2(1)^3-6(1)-4$

$latex y=-8$

El punto mínimo de la función es (1, -8).

Empezamos encontrando la derivada de la función:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f'(x)=x^2+2x-3$

Ahora, vamos a formar una ecuación con la derivada y resolver por factorización:

$latex x^2+2x-3=0$

$latex (x+3)(x-1)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=1$

Hemos encontrado dos puntos estacionarios, por lo que podemos usar la segunda derivada para determinar la naturaleza de estos puntos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2x+2$

Cuando $latex x=-3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ y cuando $latex x=1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Entonces, el punto máximo está en $latex x=-3$.

Finalmente, encontramos la coordenada en y del punto usando $latex x=-3$ en la función:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f(x)=\frac{1}{3}(-3)^3+(-3)^2-3(-3)$

$latex y=9$

El punto máximo tiene las coordenadas (-3, 9).

Empezamos encontrando la derivada de la función y formamos una ecuación para obtener los puntos estacionarios:

$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex f'(x)=-x^2+2x+3$

$latex -x^2+2x+3=0$

$latex -(x-3)(x+1)=0$

$latex x=3~~$ o $latex ~~x=-1$

Ahora, usamos la segunda derivada

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$

Cuando $latex x=3$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ y cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Esto significa que $latex x=-1$ es el punto mínimo.

Finalmente, determinamos la coordenada en y del punto mínimo:

$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$

$latex y=-\frac{5}{3}$

El punto mínimo de la función es $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.

Podemos resolver este problema al encontrar una función del área en términos de x. Para esto, observamos lo siguiente:

$latex AB+BC=6$

$latex x+BC=6$

$latex BC=6-x$

Entonces, podemos usar la fórmula del área de un triángulo para obtener:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

Ahora, tenemos que encontrar la derivada para formar una ecuación y encontrar los puntos estacionarios:

$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A'(x)=3-x$

$latex 3-x=0$

$latex x=3$

Verificamos si es que este punto es un punto máximo usando la segunda derivada:

$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$

Dado que $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, sabemos que el punto es un máximo. Entonces, usamos $latex x=3$ para encontrar el área máxima:

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$

$latex A=\frac{9}{2}=4.5$

El área máxima del triángulo es 4.5 cm².

Similar al ejercicio anterior, tenemos que encontrar una función para el área del triángulo usando la información dada:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(x+2)x$

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

Ahora, encontramos la derivada para formar una ecuación y encontrar los puntos estacionarios:

$latex A(x)=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A'(x)=x+1$

$latex x+1=0$

$latex x=-1$

Para verificar si el punto es un mínimo, vamos a usar la segunda derivada:

$latex A^{\prime \prime}(x)=1$

Tenemos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, por lo que confirmamos que el punto es un mínimo. Entonces, usamos $latex x=-1$ para encontrar el área mínima:

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A=\frac{1}{2}(-1)^2-1$

$latex A=-\frac{1}{2}=0.5$

El área mínima del triángulo es 0.5 cm².