Encontrar el área entre dos curvas – Paso a paso

El área entre dos curvas puede ser calculada al encontrar el área bajo cada curva y luego, restarlas de modo que obtengamos el área de la intersección. A su vez, el área bajo una curva es encontrada al calcular una integral definida. Además de curvas, también podemos calcular el área entre rectas o ejes.

A continuación, aprenderemos sobre el método que podemos usar para encontrar el área entre dos curvas. Luego, resolveremos algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Diagrama del área entre dos curvas

Relevante para

Aprender a calcular el área entre dos curvas.

Ver proceso

CÁLCULO
Diagrama del área entre dos curvas

Relevante para

Aprender a calcular el área entre dos curvas.

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Proceso para encontrar el área entre dos curvas

Consideremos a dos curvas intersecantes, $latex f(x)$ y $latex g(x)$, como se muestra en el siguiente diagrama.

Diagrama del área entre dos curvas

Podemos encontrar el área de la región coloreada, es decir, la región de intersección, al restar una curva de la otra, de modo que la diferencia sea igual al área de intersección.

En este caso, el área entre las curvas es obtenida al restar al área bajo la curva $latex f(x)$ del área bajo la curva $latex g(x)$. Es decir, tenemos lo siguiente:

$$A=\int_{a}^{b} g(x)dx-\int_{a}^{b} f(x)dx$$

$$A=\int_{a}^{b} (g(x)-f(x))dx$$

Este principio puede ser aplicado para encontrar el área entre dos o más curvas, rectas o ejes.


Ejemplos resueltos del área entre dos curvas

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada en donde encontramos el área entre las curvas o las rectas dadas. Intenta resolver estos ejercicios antes de mirar la respuesta.

EJEMPLO 1

Encuentra el área encerrada entre las curvas $latex y=x^2+1$ y $latex y=-x^2+3$.

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar encontrando los puntos de intersección de las curvas. Podemos lograr esto de la siguiente forma:

$latex x^2+1=-x^2+3$

$latex 2x^2=2$

$latex x=\pm 1$

Ahora, podemos trazar una gráfica simple:

ejemplo 1 area entre dos curvas

Podemos ver que el área requerida está dada por:

$$A=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) dx-\int_{-1}^{1} (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-x^2+3) – (x^2+1) dx$$

$$=\int_{-1}^{1} (-2x^2+2) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+2x \right]_{-1}^{1}$$

$$=\left[ -\frac{2}{3}+2 \right]-\left[ \frac{2}{3}-2 \right]$$

$$=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$$

$$=\frac{8}{3}$$

El área entre las dos curvas dadas es $latex \frac{8}{3}$.

EJEMPLO 2

Encuentra el área entre la curva $latex y=-\frac{1}{3}x^2+3$ y la recta $latex y=x+3$.

Vamos a empezar encontrando los puntos de intersección de la recta y la curva:

$latex x+3=-\frac{1}{3}x^2+3$

$latex \frac{1}{3}x^2+x=0$

$latex x(\frac{1}{3}x+1)=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=0$

Trazando una gráfica simple, tenemos:

Ejemplo2 de area entre dos curvas

Podemos ver que el área de la región requerida puede ser encontrada de la siguiente forma:

$$A=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right)-\int_{-3}^{0} (x+3 )dx dx$$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2+3\right) – (x+3)dx$$

$$=\int_{-3}^{0} \left(-\frac{1}{3}x^2-x\right) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{2} \right]_{-3}^{0}$$

$$=\left[ -\frac{0^3}{9}-\frac{0^2}{2} \right]-\left[ -\frac{(-3)^3}{9}-\frac{(-3)^2}{2} \right]$$

$$=-\left[ 3-\frac{9}{2} \right]$$

$$=\frac{3}{2}$$

El área entre las dos curvas dadas es 1.5.

EJEMPLO 3

Encuentra el área de la región encerrada por las curvas $latex y=x^2+2x+2$ y $latex y=-x^2+2x+10$.

Como en los ejercicios anteriores, tenemos que empezar encontrando el punto de intersección de las curvas. Entonces, tenemos:

$$x^2+2x+2=-x^2+2x+10$$

$latex 2x^2-8=2$

$latex x=\pm 2$

Trazando una gráfica simple, tenemos:

ejemplo 3 area entre dos curvas

Entonces, podemos determinar que el área requerida está dada por:

$$A=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) dx-\int_{-2}^{2} (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-x^2+2x+10) – (x^2+2x+2) dx$$

$$=\int_{-2}^{2} (-2x^2+8) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+8x \right]_{-2}^{2}$$

$$=\left[ -\frac{16}{3}-16 \right]-\left[ \frac{16}{3}-16 \right]$$

$$=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}$$

$$=\frac{64}{3}$$

El área entre las dos curvas es $latex \frac{64}{3}$.

EJEMPLO 4

¿Cuál es el área entre las curvas $latex y=x^2+2$ y $latex y=-x^2+3$?

Podemos encontrar los puntos de intersección de las curvas de la siguiente forma:

$latex x^2+2=-x^2+3$

$latex 2x^2=1$

$latex x=\pm \sqrt{0.5}$

Al trazar una gráfica simple, tenemos:

ejemplo 4 area entre dos curvas

Entonces, el área de la región de intersección puede ser encontrada por:

$$A=\int_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) dx-\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-x^2+3) – (x^2+2) dx$$

$$=\int_{\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}} (-2x^2+1) dx$$

$$=\left[ -\frac{2x^3}{3}+x \right]_{-\sqrt{0.5}}^{\sqrt{0.5}}$$

$$=\left[ -\frac{\sqrt{0.5}}{3}+\sqrt{0.5} \right]-\left[ \frac{\sqrt{0.5}}{3}-\sqrt{0.5} \right]$$

$$=0.4714+0.4714$$

$$=0.9428$$

El área entre las dos curvas dadas es $latex 0.9428$.

EJEMPLO 5

Encuentra el área de la región encerrada por la curva $latex y=x^2-2x-3$ y la recta $latex y=x+1$.

Podemos encontrar los puntos de intersección de la siguiente forma:

$latex x^2-2x-3=x+1$

$latex x^2-3x-4=0$

$latex (x-4)(x+1)=0$

$latex x=4~~$ o $latex ~~x=-1$

Ahora, podemos trazar la siguiente gráfica:

ejemplo 5 area entre dos curvas

Vemos que parte del área está bajo el eje x. Sin embargo, podemos usar el mismo método para encontrar el área. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{4} (x+1) dx-\int_{-1}^{4} (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (x+1) – (x^2-2x-3) dx$$

$$=\int_{-1}^{4} (-x^2+3x+4) dx$$

$$=\left[ -\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x \right]_{-1}^{4}$$

$$=\left[ -\frac{64}{3}+24+16 \right]-\left[ \frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4 \right]$$

$$=\frac{56}{3}+\frac{13}{6}$$

$$=\frac{125}{6}$$

El área entre las dos curvas dadas es $latex \frac{125}{6}$.


Área entre dos curvas – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica aplicando todo lo aprendido sobre el área entre dos curvas.

Encuentra el área de la región encerrada por la recta $latex y=2x$ y la curva $latex y=x^2-2x$.

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¿Cuál es el área entre la recta $latex y=-3x$ y la curva $latex y=3x-x^2$?

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Encuentra el área entre la recta $latex y=x+1$ y la curva $latex y=x^2-1$.

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Véase también

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