Encontrar el área bajo una curva – Paso a paso

El área bajo una curva puede ser encontrada al evaluar una integral definida. A su vez, podemos evaluar una integral definida si es que tenemos límites de integración. Entonces, evaluamos la expresión integrada en el límite superior y restamos la expresión integrada en el límite inferior. El resultado es un valor definido que representa el área.

A continuación, aprenderemos cómo encontrar el área bajo una curva usando integrales definidas. Luego, resolveremos algunos ejercicios de práctica para aplicar lo aprendido.

CÁLCULO
Diagrama del área bajo una curva

Relevante para

Aprender a calcular el área bajo una curva.

Ver proceso

CÁLCULO
Diagrama del área bajo una curva

Relevante para

Aprender a calcular el área bajo una curva.

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Proceso usado para encontrar el área bajo una curva

Consideramos el área $latex A$ bajo la curva $latex f(x)$ que se muestra en el siguiente diagrama:

Diagrama del área bajo una curva

Podemos encontrar el área bajo esta curva usando una integral definida. En este caso, el área bajo la curva está representada por $latex A= \int_{a}^{b} f(x)dx$, en donde,

  • $latex dx$ indica que los límites $latex a $ y $latex b$ son límites de x.
  • La constante $latex a$ es el límite inferior de la integral.
  • La constante $latex b$ es el límite superior de la integral.

Tomando esto en cuenta, podemos seguir los siguientes pasos para encontrar el área bajo una curva suponiendo que queremos encontrar el área bajo $latex 2x$ entre $latex x=0$ y $latex x=1$.

Paso 1: Formar una integral definida con la información dada. En este caso, tenemos la siguiente integral:

$latex \int_{0}^{1} 2xdx$

Paso 2: Obtener la integral de la función y expresarla usando corchetes, en donde escribimos a los límites de integración de la siguiente forma:

$latex \int_{0}^{1} 2xdx=[x^2+c]_{0}^{1}$

Paso 3: Evaluamos los límites superior e inferior en la expresión integrada. Restamos el límite inferior del límite superior:

$latex [x^2+c]_{0}^{1}=[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$

Paso 4: Simplificar hasta obtener un único valor numérico:

$latex =[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$

$latex =[1+c]-[0+c]$

$latex =1$

El valor encontrando corresponde al área.

Cuando resolvemos integrales definidas, generalmente las constantes de integración son ignoradas, ya que serán canceladas en el paso 3 de todas formas.


Ejemplos resueltos del área bajo una curva

Los siguientes ejemplos tienen una solución detallada, en donde usamos el proceso para encontrar el área bajo una curva visto arriba. Intenta resolver los ejercicios antes de mirar la respuesta.

EJEMPLO 1

Encuentra el área bajo la curva $latex y=x^2$ entre $latex x=1$ y $latex x=3$.

Ejemplo 1 area bajo la curva

Paso 1: Con la información del enunciado, podemos formar la siguiente integral definida:

$$A=\int_{1}^{3} x^2 dx$$

Paso 2: Evaluamos la integral de la expresión y mantenemos los límites de integración:. Además, ignoramos la contante de integración, ya que será eliminada de todas formas:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}$$

Paso 3: Evaluando los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(3)^3}{3} \right]-\left[ \frac{(1)^3}{3} \right]$$

Paso 4: Simplificando, tenemos:

$$A=\left[ \frac{27}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A=[9]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A= \frac{26}{3}$$

EJEMPLO 2

Encuentra el área bajo la curva $latex y=\frac{1}{3}x^2+2$ desde $latex x=0$ y $latex x=3$.

Ejemplo 2 area bajo la curva

Paso 1: De la información dada, sabemos que tenemos que resolver la siguiente integral definida:

$$A=\int_{0}^{3} \frac{1}{3} x^2+2 dx$$

Paso 2: Encontrando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{1}{9} x^3+2x \right]_{0}^{3}$$

Paso 3: Ahora, evaluamos a la expresión obtenida en los límites de integración:

$$A=\left[\frac{1}{9}(3)^3+2(3) \right]-\left[\frac{1}{9}(0)^3+2(0) \right]$$

Paso 4: Simplificando, tenemos:

$$A=[3+6]-[0]$$

$$A=9$$

EJEMPLO 3

Encuentra el área de la curva $latex y=x^3-4x$ desde $latex x=-2$ hasta $latex x=0$.

Ejemplo 3 area bajo la curva

Paso 1: Al formar una integral definida con la información dada, tenemos:

$$A=\int_{-2}^{0} x^3-4x dx$$

Paso 2: Ahora, podemos integrar la expresión mientras mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{x^4}{4} -2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Paso 3: Evaluamos tanto el límite superior, como el límite inferior de la integral:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{4} -2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{4} -2(-2)^2 \right]$$

Paso 4: Finalmente, simplificamos para obtener un único valor para el área:

$$A=[ 0 -0]-\left[ \frac{16}{4} -2(4) \right]$$

$latex A=-[ 4-8]$

$latex A= 4$

EJEMPLO 4

Encuentra el área coloreada de la curva $latex y=x^2+4x$, la cual va desde $latex x=-2$ hasta $latex x=0$.

Ejemplo 4 area bajo la curva

Paso 1: En este caso, vemos que el área requerida está bajo el eje x. Sin embargo, podemos continuar con los mismos pasos. Entonces, formamos la siguiente integral definida:

$$A=\int_{-2}^{0} x^2 +4x dx$$

Paso 2: Ahora, evaluamos la integral de la siguiente forma:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Paso 3: Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^3}{3} +2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^3}{3} +2(-2)^2 \right]$$

Paso 4: Podemos simplificar para obtener un solo valor:

$$A=[ 0 +0]-\left[ \frac{-8}{3} +8 \right]$$

$$A=-\left[ \frac{16}{3} \right]$$

El signo negativo nos indica que el área está bajo el eje x. Entonces, en realidad el área es igual a $latex A= \frac{16}{3} $.

Por esta razón, una gráfica simple de la curva es útil para determinar si alguna parte del área está bajo del eje x.

EJEMPLO 5

Encuentra el área bajo la curva $latex y=2x^3-8x$ desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$.

Ejemplo 5 area bajo la curva

Existen dos formas principales para resolver esto. Podemos encontrar el área de las regiones arriba del eje x y abajo del eje x separadamente.

Alternativamente, podemos observar que la gráfica es simétrica, por lo que ambas regiones tienen la misma área. Entonces, solo encontramos el área de una región y la multiplicamos por 2.

Paso 1: Podemos formar la siguiente integral definida:

$$A=\int_{-2}^{0} 2x^3-8x dx$$

Paso 2: Encontrando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{x^4}{2}-4x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Paso 3: Cuando evaluamos esto, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{2}-4(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{2}-4(-2)^2 \right]$$

Paso 4: Simplificando, tenemos:

$latex A=[0-0]-[ 8 -16]$

$latex A= 8$

Entonces, el área de la región desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$ es 16.

EJEMPLO 6

Encuentra el área de la curva $latex y=x^3-4x^2+3x$ desde $latex x=0$ hasta $latex x=3$.

Ejemplo 6 area bajo la curva

El área requerida contiene dos partes, $latex A_{1}$, que es el área encima del eje x, y $latex A_{2}$, que es el área bajo el eje x.

Para calcular $latex A_{1}$, formamos la siguiente integral definida:

$$A_{1}=\int_{0}^{1} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Resolviendo, tenemos:

$$A_{1}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$

$$A_{1}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]-[ 0]$$

$$A_{1}=\frac{5}{12}$$

Para calcular $latex A_{2}$, formamos la siguiente integral definida:

$$A_{2}=\int_{1}^{3} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Resolviendo, tenemos:

$$A_{2}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$$

$$A_{2}=\left[ \frac{81}{4}-36+\frac{27}{2} \right]-\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]$$

$$A_{2}=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}$$

$$A_{2}=-\frac{8}{3}$$

Entonces, el área $latex A_{2}$ es $latex \frac{8}{3}$. Y el área total es:

$$A=A_{1}+A_{2}$$

$$A=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

$$A=\frac{37}{12}$$


Área bajo una curva – Ejercicios para resolver

En los siguientes ejercicios, tienes que encontrar el área bajo las curvas dadas. En cada uno de estos ejercicios, el área buscada está encima del eje x.

¿Cuál es el área de $latex y=1+x^2$ entre $latex x=0$ y $latex x=2$?

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Encuentra el área de $latex y=3+x$ entre $latex x=1$ y $latex x=4$.

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¿Cuál es el área de $latex y=5x-x^2$ entre $latex x=0$ y $latex x=5$?

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Encuentra el área de la curva $latex y=\frac{1}{x^2}$ entre $latex x=2$ y $latex x=10$.

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Véase también

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