Área bajo una curva – Ejercicios resueltos

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar formando una integral definida con la información dada. Entonces, tenemos:

$$A=\int_{1}^{3} x^2 dx$$

Ahora, encontramos la integral de la expresión y mantenemos los límites de integración usando corchetes:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(3)^3}{3} \right]-\left[ \frac{(1)^3}{3} \right]$$

Finalmente, podemos simplificar:

$$A=\left[ \frac{27}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A=[9]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A= \frac{26}{3}$$

Con la información dada, podemos formar la siguiente integral definida:

$$A=\int_{0}^{3} \frac{1}{3} x^2+2 dx$$

Ahora, integramos a la expresión dada y mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{1}{9} x^3+2x \right]_{0}^{3}$$

Cuando evaluamos los límites de integración en la expresión integrada, tenemos:

$$A=\left[\frac{1}{9}(3)^3+2(3) \right]-\left[\frac{1}{9}(0)^3+2(0) \right]$$

Al simplificar, tenemos:

$$A=[3+6]-[0]$$

$$A=9$$

Empezamos formando una integral definida con la información dada:

$$A=\int_{-2}^{0} x^3-4x dx$$

Ahora, integramos la expresión y mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{x^4}{4} -2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{4} -2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{4} -2(-2)^2 \right]$$

Simplificamos para obtener un solo valor para el área:

$$A=[ 0 -0]-\left[ \frac{16}{4} -2(4) \right]$$

$latex A=-[ 4-8]$

$latex A= 4$

Formando una integral con la información dada, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{2} x^2+x+2 dx$$

Ahora, podemos integrar la expresión mientras mantenemos los límites de integración:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+2x \right]_{-1}^{2}$$

Al evaluar esto, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(2)^3}{3} +\frac{(2)^2}{2}+2(2) \right]-\left[ \frac{(-1)^3}{3} +\frac{(-1)^2}{2}+2(-1) \right]$$

Cuando simplificamos, tenemos:

$$A=\left[ \frac{8}{3} +2+4 \right]-\left[ -\frac{1}{3} +\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$A=\left[ \frac{26}{3}\right]-\left[ -\frac{11}{6} \right]$$

$latex A=\frac{63}{6}$

$latex A= 10~\frac{1}{2}$

En este caso, la región que queremos está debajo del eje x. Sin embargo, podemos seguir el mismo proceso y encontrar una integral definida con la información dada:

$$A=\int_{-2}^{0} x^2 +4x dx$$

Determinando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Al evaluar los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^3}{3} +2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^3}{3} +2(-2)^2 \right]$$

Cuando simplificamos, obtenemos lo siguiente:

$$A=[ 0 +0]-\left[ \frac{-8}{3} +8 \right]$$

$$A=-\left[ \frac{16}{3} \right]$$

Vemos que obtuvimos un valor negativo. La razón para esto es que el área que queremos está bajo el eje x. Entonces, ignoramos el signo menos y el área es igual a $latex A= \frac{16}{3} $.

En este ejercicio, podemos entender por qué es útil trazar una gráfica simple cuando queremos encontrar el área bajo una curva.

Este ejercicio es similar al anterior. Entonces, debemos usar el mismo proceso e ignorar el signo negativo resultante.

Formando la integral definida, tenemos:

$$A=\int_{-1}^{2} 3x^2-3x-6 dx$$

Determinando la integral de la expresión y manteniendo los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ x^3 -\frac{3x^2}{2}-6x \right]_{-1}^{2}$$

Cuando evaluamos los límites de integración, tenemos:

$$A=\left[ (2)^3 -\frac{3(2)^2}{2}-6(2) \right]-\left[ (-1)^3 -\frac{3(-1)^2}{2}-6(-1) \right]$$

Al simplificar, tenemos:

$$A=[ 8 -6-12 ]-\left[ -1 -\frac{3}{2}+6 \right]$$

$$A=[ -10 ]-\left[ \frac{7}{2} \right]$$

$$A=-\frac{27}{2}=-13.5$$

El área es igual a $latex A= 13.5 $.

Podemos resolver esto al encontrar las áreas bajo el eje x y encima del eje x separadamente. Sin embargo, en este caso, observamos que la gráfica es simétrica y ambas regiones tienen la misma área.

Por lo tanto, podemos encontrar el área de una región y luego la multiplicamos por 2. Entonces, empezamos formando la siguiente integral definida:

$$A=\int_{-2}^{0} 2x^3-8x dx$$

Ahora, escribimos de la siguiente forma:

$$A=\left[ \frac{x^4}{2}-4x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Al evaluar esto, tenemos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{2}-4(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{2}-4(-2)^2 \right]$$

Finalmente, simplificamos para obtener un solo valor:

$latex A=[0-0]-[ 8 -16]$

$latex A= 8$

Entonces, el área de la región desde $latex x=-2$ hasta $latex x=2$ es 16.

En este caso, el área requerida tiene dos partes, $latex A_{1}$, el área encima del eje x, y $latex A_{2}$, el área bajo el eje x. Entonces, vamos a encontrar estas áreas separadamente.

Para el área $latex A_{1}$, tenemos la siguiente integral definida:

$$A_{1}=\int_{0}^{1} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Podemos resolver esta integral de la siguiente forma:

$$A_{1}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$

$$A_{1}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]-[ 0]$$

$$A_{1}=\frac{5}{12}$$

Para el área $latex A_{2}$, tenemos la siguiente integral definida:

$$A_{2}=\int_{1}^{3} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Y resolvemos de la siguiente forma:

$$A_{2}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$$

$$A_{2}=\left[ \frac{81}{4}-36+\frac{27}{2} \right]-\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]$$

$$A_{2}=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}$$

$$A_{2}=-\frac{8}{3}$$

Finalmente, calculamos el área total $latex A$ de la siguiente forma:

$$A=A_{1}+A_{2}$$

$$A=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

$$A=\frac{37}{12}$$