Sistemas de ecuaciones 3×3 – Ejercicios resueltos

Un sistema de ecuaciones 3×3 es un sistema formado por tres ecuaciones con tres variables. Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones 3×3, como la representación gráfica, la sustitución y la eliminación Gaussiana.

En este artículo, aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones 3×3 usando los métodos de sustitución y eliminación. Veremos varios ejercicios resueltos para aprender sobre este tema.

ÁLGEBRA
Ejemplo de sistema de ecuaciones 3x3

Relevante para

Aprender sobre sistemas de ecuaciones 3×3 con ejercicios.

Ver ejercicios

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Ejemplo de sistema de ecuaciones 3x3

Relevante para

Aprender sobre sistemas de ecuaciones 3×3 con ejercicios.

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¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones 3×3?

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables, puedes utilizar uno de varios métodos. Aquí tienes dos enfoques comunes:

  1. Eliminación gaussiana: Este método consiste en sumar o restar ecuaciones para eliminar variables, de una en una, hasta que el sistema se encuentre en lo que se conoce como forma reducida fila-echelón. Una vez que el sistema está en esta forma, es fácil resolver las variables.
  2. Regla de Cramer: Este método consiste en expresar la solución en términos de determinantes de determinadas matrices. Para utilizar la regla de Cramer, es necesario poder calcular determinantes, lo que puede resultar un poco más complicado que los métodos utilizados en la eliminación de Gauss.

He aquí un ejemplo de cómo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables utilizando la eliminación de Gauss:

Supongamos que tenemos el siguiente sistema:

$$\begin{cases} 3x + 4y – 2z = 0\\2x – 3y + 4z = 11\\x – 2y + 3z = 7 \end{cases}$$

Podemos empezar eliminando la variable x de la segunda y tercera ecuaciones. Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 1 y la tercera ecuación por -2, y luego sumamos las ecuaciones resultantes:

$$\begin{cases} 2x – 3y + 4z = 11\\-2x + 4y -6z = -14 \end{cases}$$

____________________

$latex y-2z=-3$

Luego, podemos eliminar la variable x de las ecuaciones primera y tercera, multiplicando la primera ecuación por 1 y la tercera ecuación por -3, y sumando después las ecuaciones resultantes:

$$\begin{cases} 3x+4y-2z=0\\-3x+6y-9z=-21 \end{cases}$$

____________________

$latex 10y-11z=-21$

Por último, podemos multiplicar a la ecuación $latex y-2z=-3$ por -10 y sumar estas dos ecuaciones para eliminar la variable y:

$$\begin{cases} -10y+20z=30\\10y-11z=-21 \end{cases}$$

____________________

$latex 9z=9$

Resolviendo esta ecuación para z, encontramos que $latex z = 1$.

Sustituyendo este valor en la ecuación $latex y-2z=-3$, podemos resolver para y: $latex y = -1$.

Sustituyendo estos valores de nuevo en las ecuaciones originales, podemos resolver para x: $latex x = 2$.

Por lo tanto, la solución del sistema es $latex x = 2$, $latex y = -1$ y $latex z = 1$.


Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones 3×3

EJERCICIO 1

Encuentre la solución del siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de sustitución:

$$\begin{cases} x+y-2z=1\\2x-4y+z=0\\2y-3z=-1 \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 2

Sea el siguiente sistema de ecuaciones tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y+z=6 \\ \text{(ii)}~~x-y+2z=5 \\ \text{(iii)}~~x-y-3z=-10 \end{cases}$$

demuestre, por el método de eliminación, que su solución es: $latex \left[ x=1,y=2,z=3 \right] $.

Solución

EJERCICIO 3

Sea el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~2x+3y+z=1 \\ \text{(ii)}~~6x-2y-z=-14 \\ \text{(iii)}~~3x+y-z=1 \end{cases}$$

Hallar los valores de x, y, z que satisfacen el sistema.

Solución

EJERCICIO 4

Sea el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{x}{2}+\frac{y}{2}-\frac{z}{3}=3 \\ \text{(ii)}~~ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{2}=-5 \\ \text{(iii)}~~\frac{x}{6}-\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=0 \end{cases}$$

Obtener la solución por el método de sustitución.

Solución

EJERCICIO 5

Hallar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=5 \\ \text{(ii)}~~ x+z=6 \\ \text{(iii)}~~ y+z=7 \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 6

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~3x+2y=2 \\ \text{(ii)}~~ 2y+2z=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~x+4z=\frac{4}{3} \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 7

Hallar los valores de las variables u, v y w en el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=5 \\ \text{(ii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{1}{w}=6 \\ \text{(iii)}~~\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=7 \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 8

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~ \frac{3}{u}+\frac{2}{v}=2 \\ \text{(ii)}~~\frac{2}{v}+\frac{2}{w}=\frac{3}{2} \\ \text{(iii)}~~ \frac{1}{u}+\frac{4}{w}=\frac{4}{3} \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 9

Hallar los valores de x, y y z que satisfacen simultáneamente a las tres ecuaciones dadas:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~x+y=1 \\ \text{(ii)}~~y+z=-1 \\ \text{(iii)}~~x+z=-6 \end{cases}$$

Solución

EJERCICIO 10

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \text{(i)}~~ 5x-3z=2 \\ \text{(ii)}~~ -y+2z=-5 \\ \text{(iii)}~~ x+2z=8 \end{cases}$$

Solución

Ejercicios de sistemas de ecuaciones 3×3 para resolver

Práctica de sistemas de ecuaciones 3X3
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Encuentra el valor de x en el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 2x-2y+z=-5 \\ 3x+y+3z=-1 \\ 4x-y-2z=-12 \end{cases}$$

Escribe el valor de x en la casilla.

$latex x=$

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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