Las funciones tienen dos tipos principales de simetría. Si es que la función es par, su gráfica será simétrica con respecto al eje y. Si es que la función es impar, su gráfica será simétrica con respecto al origen.

A continuación, veremos un resumen de estos tipos de simetría de funciones. También, veremos las pruebas que son usadas para saber si una función es simétrica o no. Además, miraremos varios ejercicios de simetría de funciones para dominar completamente el uso de estas pruebas de simetría.

ÁLGEBRA
ejercicios de simetría de funciones

Relevante para

Aprender sobre la simetría de funciones con ejercicios resueltos.

Ver ejercicios

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Resumen de simetría de funciones

La simetría de funciones puede ser usada para obtener su gráfica más fácilmente, ya que al conocer una porción de la gráfica, también conoceremos la otra porción simétrica.

La simetría depende del comportamiento de f(x) en el otro lado del eje y, es decir, en valores negativos de x: f(-x).

Una función es simétrica con respecto al eje y si es que cada vez que tenemos (a, b) en la gráfica de la función, también tenemos (-a, b). La siguiente es una gráfica con simetría con respecto al eje y:

grafica de funcion con simetria con respecto al eje y

Una función es simétrica con respecto al origen si es que cada vez que tenemos (a, b), también tenemos (-a, -b) en la gráfica. La siguiente es una gráfica con simetría con respecto al origen:

como saber si una funcion es simetrica

Pruebas para simetría

Prueba 1: Si es que f(-x)=f(x), entonces, la gráfica de f(x) es simétrica con respecto al eje y. Una función simétrica con respecto al eje y es llamada una función par.

Prueba 2: Si es que f(-x)=-f(x), entonces, la gráfica de f(x) es simétrica con respecto al origen. Una función simétrica con respecto al eje origen es llamada una función impar.


Ejercicios de simetría de funciones resueltos

Los siguientes ejercicios de simetría de funciones son resueltos usando las pruebas de simetría indicadas arriba. Cada ejercicio tiene una solución detallada para entender el razonamiento usado.

EJERCICIO 1

Determina si es que la función f(x)=2{{x}^2}+5 es simétrica.

Prueba 1: Empezamos verificando si es que la función es simétrica con respecto al eje y. Eso significa que tenemos que reemplazar todas las x con –x:

f(-x)={{(-x)}^2}+5

={{x}^2}+5

Después de simplificar, obtuvimos exactamente la misma función que f(x), lo que significa que ambas son equivalentes. Entonces, esta ecuación sí es simétrica con respecto al eje y.

Prueba 2: Ahora, verificamos por simetría con respecto al origen. Esto requiere que remplacemos tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x).

-f(-x)={{(-x)}^2}+5

-f(-x)={{x}^2}+5

En este caso, el lado derecho de la función es idéntico a la original, pero el lado izquierdo es diferente, ya que tenemos un signo menos en frente.

EJERCICIO 2

Determina si es que la función f(x)={{x}^3}+5x tiene algún tipo de simetría.

Prueba 1: Para determinar si es que la función es simétrica con respecto al eje y, tenemos que reemplazar todas las x con –x:

f(-x)={{(-x)}^3}+5(-x)

=-{{x}^3}-5x

Vemos que obtuvimos una expresión diferente a la función original en la parte derecha. Esto significa que la función no es simétrica con respecto al eje y.

Prueba 2: Para verificar si la función es simétrica con respecto al origen, tenemos que cambiar tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x).

-f(-x)={{(-x)}^3}+5(-x)

-f(-x)=-{{x}^3}-5x

f(-x)={{x}^3}+5x

Vemos que obtuvimos signos negativos de ambos lados. Al multiplicar ambos lados por -1, obtuvimos la función original. Esto significa que la función sí es simétrica con respecto al origen.

EJERCICIO 3

¿Tiene la función f(x)={{x}^4}+2{{x}^3}+2x algún tipo de simetría?

Prueba 1: Buscamos la simetría con respecto al eje al reemplazar todas las x con –x:

f(-x)={{(-x)}^4}+2{{(-x)}^3}+2(-x)

={{x}^4}-2{{x}^3}-2x

Después de simplificar, obtuvimos una expresión diferente a la función original, f(x). Por lo tanto, esta ecuación no tiene simetría con respecto al eje y.

Prueba 2: Buscamos simetría con respecto al origen al reemplazar tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x).

-f(-x)={{(-x)}^4}+2{{(-x)}^3}+2(-x)

-f(-x)={{x}^4}-2{{x}^3}-2x

f(-x)=-{{x}^4}+2{{x}^3}+2x

Si es que multiplicamos ambos lados de la función por -1, no obtenemos la función original, por lo que esta función no tiene simetría con respecto al origen.

EJERCICIO 4

Determina si la función f(x)=3{{x}^4}-2{{x}^2}+4 tiene algún tipo de simetría.

Prueba 1: Empezamos buscando simetría con respecto al eje y. Eso significa que tenemos que reemplazar todas las x con –x:

f(-x)=3{{(-x)}^4}-2{{(-x)}^2}+4

=3{{x}^4}-2{{x}^2}+4

Obtuvimos exactamente la misma función que f(x). Entonces, la función sí tiene simetría con respecto al eje y.

Prueba 2: Ahora, buscamos simetría con respecto al origen. Ncesitamos reemplazar tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x).

-f(-x)=3{{(-x)}^4}-2{{(-x)}^2}+4

-f(-x)=3{{x}^4}-2{{x}^2}+4

f(-x)=-3{{x}^4}+2{{x}^2}-4

Luego de multiplicar por -1, no obtuvimos la función original. Entonces, la función no es simétrica con respecto al origen.

EJERCICIO 5

¿Es la función f(x)={{x}^3}+{{x}^2}+x+1 simétrica con respecto al eje y o el origen?

Prueba 1: Verificamos simetría con respecto al eje al reemplazar todas las x con –x:

f(-x)={{(-x)}^3}+{{(-x)}^2}+(-x)+1

=-{{x}^3}+{{x}^2}-x+5

Vemos que no obtuvimos la misma función que la función original, f(x), lo que significa que la función no es simétrica con respecto al eje y.

Prueba 2: Podemos verificar si la función tiene simetría con respecto al original reemplazar tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x).

-f(-x)={{(-x)}^3}+{{(-x)}^2}+(-x)+1

-f(-x)=-{{x}^3}+{{x}^2}-x+5

f(-x)={{x}^3}-{{x}^2}+x-5

Luego de simplificar y multiplicar a la función por -1, no obtuvimos la función original, lo que significa que no es simétrica con respecto al origen.

Esta función no tiene ningún tipo de simetría. Esto no es inusual, ya que la mayoría de funciones no tienen ningún tipo de simetría.

EJERCICIO 6

Determina si la función f(x)=3{{x}^5}-4{{x}^3}+2x+4 tiene algún tipo de simetría.

Prueba 1: Reemplazamos todas las x con –x para buscar simetría con respecto al eje y:

f(-x)=3{{(-x)}^5}-4{{(-x)}^3}+2(-x)+4

=-3{{x}^5}+4{{x}^3}-2x+4

Después de simplificar, no obtuvimos la función original, lo que significa que ambas no son equivalentes y no existe simetría con respecto al eje y.

Prueba 2: Reemplazamos tanto a x con –x como a f(x) con -f(-x) para buscar simetría con respecto al origen:

-f(-x)=3{{(-x)}^5}-4{{(-x)}^3}+2(-x)+4

-f(-x)=-3{{x}^5}+4{{x}^3}-2x+4

f(-x)=3{{x}^5}-4{{x}^3}+2x-4

No obtuvimos exactamente la función original, por lo que la función no es simétrica con respecto al origen.

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Ejercicios de simetría de funciones para resolver

Practica y pon a prueba tu conocimiento sobre simetría de funciones con los siguientes ejercicios. Resuelve los ejercicios y selecciona una respuesta. Puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba en caso de necesitar ayuda.

Determina si es que la función f(x)=6{{x}^4}-5 es simétrica.

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¿Tiene la función f(x)=3{{x}^5-3x algún tipo de simetría?

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Determina si la función f(x)={{x}^4}-2{{x}^3}+4x es simétrica.

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Determina si la función {{x}^5}-3{{x}^3}+5x-1 es simétrica.

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