Los ejercicios de multiplicación de polinomios pueden ser resueltos al usar la propiedad distributiva y multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Cada vez que multiplicamos polinomios, obtenemos un polinomio con un grado mayor.
A continuación, veremos un resumen de la multiplicación de polinomios. Además, exploraremos varios ejercicios de multiplicación de polinomios resueltos para entender completamente el proceso usado para obtener la solución.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender a resolver ejercicios de multiplicación de polinomios.
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Aprender a resolver ejercicios de multiplicación de polinomios.
Resumen de multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios puede resultar un poco más complicada que la suma o la resta de polinomios. Tenemos que usar la propiedad distributiva para multiplicar a cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo polinomio.
Recordemos que la siguiente es la propiedad distributiva:
El número o expresión algebraica debe ser distribuida a cada término del polinomio. Por ejemplo, podemos distribuir al 3 en $latex 3(x+5)$ para obtener la expresión equivalente $latex 3x+15$.
El polinomio resultante es simplificado al sumar o restar términos semejantes. Cada vez que multiplicamos polinomios, siempre obtenemos un polinomio con un grado mayor.
Entonces, para multiplicar polinomios, simplemente seguimos dos pasos:
Paso 1: Usar la propiedad distributiva para multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.
Paso 2: Simplificamos al combinar términos semejantes.
Ejercicios de multiplicación de polinomios resueltos
Los siguientes ejercicios tienen su respectiva solución para entender el proceso usado para llegar a la respuesta. Es recomendable intentar resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Multiplica al polinomio $latex 2x+3y-5$ por $latex 2{{x}^2}$.
Solución
Multiplicamos a cada término del polinomio $latex 2x+3y-5$ por el monomio $latex 2{{x}^2}$:
⇒ $latex 2{{x}^2}(2x+3y-5)$
$$=(2{{x}^2})(2x)+(2{{x}^2})(3y)+(2{{x}^2})(-5)$$
$latex =4x^3+6x^2y-10x^2$
En este caso, no tenemos términos semejantes, por lo que no podemos simplificar.
EJERCICIO 2
Multiplica al polinomio $latex 2x+4y-5z$ por $latex -4x$.
Solución
Multiplicamos a cada término del polinomio por el monomio:
⇒ $latex -4x(2x+4y-5z)$
$$=-(4x)(2x)-(4x)(4y)-(4x)(-5z)$$
$latex =-8{{x}^2}-16xy+20xz$
En este caso, tampoco tenemos términos semejantes, por lo que no podemos simplificar.
EJERCICIO 3
Multiplica a $latex 5{{p}^3}-6pq+4{{q}^2}$ por $latex 3pq$.
Solución
Tenemos que aplicar la propiedad distributiva para multiplicar al monomio por cada uno de los términos del polinomio:
⇒ $latex 3pq(5{{p}^3}-6pq+4{{q}^2})$
$$=3pq(5{{p}^3})+3pq(-6pq)+3pq(4{{q}^2})$$
$latex =15{{p}^4}q-18{{p}^2}{{q}^2}+12p{{q}^3}$
EJERCICIO 4
Multiplica los polinomios $latex (x+2)$ y $latex ({{x}^2}+5x+2)$.
Solución
Aquí, tenemos a un binomio que multiplica a un trinomio. Tenemos que multiplicar cada término del binomio por cada término del trinomio. Entonces, podemos empezar separando al binomio:
⇒ $latex (x+2)({{x}^2}+5x+2)$
$latex =x({{x}^2}+5x+2)+2({{x}^2}+5x+2)$
Ahora, aplicamos la propiedad distributiva dos veces:
$latex ={{x}^3}+5{{x}^2}+2x+2{{x}^2}+10x+4$
En este caso, sí tenemos términos semejantes, por lo que los combinamos para simplificar al polinomio:
$latex ={{x}^3}+7{{x}^2}+12x+4$
EJERCICIO 5
Multiplica a $latex (2{{x}^2}-4)$ por $latex (-3{{x}^2}+4x-10)$.
Solución
Similar al ejercicio anterior, tenemos que separar al binomio para que cada término multiplique al trinomio:
⇒ $latex (2{{x}^2}-4)(-3{{x}^2}+4x-10)$
$$=2{{x}^2}(-3{{x}^2}+4x-10)-4(-3{{x}^2}+4x-10))$$
Ahora, aplicamos la propiedad distributiva para que cada término del binomio sea multiplicado por cada término del trinomio:
$$=(2{{x}^2})(-3{{x}^2})+(2{{x}^2})(4x)+(2{{x}^2})(-10) -4(-3{{x}^2})-4(4x)-4(-10)$$
$$=-6{{x}^4}+8{{x}^3}-20{{x}^2}+12{{x}^2}-16x+40$$
Podemos combinar términos semejantes para simplificar:
$latex =-6{{x}^4}+8{{x}^3}-8{{x}^2}-16x+40$
EJERCICIO 6
Multiplica los polinomios $latex (2x+5y)$ y $latex (3{{x}^2}+5xy+4{{y}^2})$.
Solución
Separamos al binomio para multiplicarlo por el trinomio:
⇒ $latex (2x+5y)(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})$
$$=2x(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})+5y(3{{x}^2}+5xy+10{{y}^2})$$
Ahora, multiplicamos cada término usando la propiedad distributiva:
$$=(2x)(3{{x}^2})+(2x)(5xy)+(x)(10{{y}^2}) +(5y)(3{{x}^2})+(5y)(5xy)+(5y)(10{{y}^2})$$
$$=6{{x}^2}+10{{x}^2}y+10x{{y}^2}+15{{x}^2}y+25x{{y}^2}+50{{y}^3}$$
Podemos combinar términos semejantes para simplificar:
$latex =6{{x}^2}+25{{x}^2}y+35x{{y}^2}+50{{y}^3}$
→ Calculadora de Multiplicación de Polinomios
Ejercicios de multiplicación de polinomios para resolver
Pon en práctica lo aprendido con los siguientes ejercicios de multiplicación de polinomios. Resuelve los ejercicios, escoge tu respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
