Ejercicios de Decrecimiento Exponencial

Podemos modelar situaciones de la vida real con las funciones exponenciales. Una de estas situaciones es el decrecimiento poblacional. Existen fórmulas «estándar» que pueden ser usadas para calcular fácilmente la población o cantidad al conocer algunos datos de la situación.

A continuación, haremos una revisión de lo que significa el decrecimiento poblacional y conoceremos sus fórmulas. Además, veremos varios ejercicios de decrecimiento poblacional resueltos que aplican estas fórmulas.

ÁLGEBRA
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Resumen de decrecimiento exponencial

El decrecimiento exponencial describe al proceso de reducir una cantidad por un porcentaje consistente sobre un periodo de tiempo. El decrecimiento exponencial es muy útil para modelar una gran cantidad de situaciones de la vida real.

Más notablemente, podemos usar el decrecimiento exponencial para monitorear el inventorio que es usado regularmente en la misma cantidad, como la comida para escuelas o cafeterías.

La siguiente es la fórmula usada para modelar el decrecimiento exponencial. Es importante reconocer a esta fórmula y cada uno de sus elementos:

Decrecimiento Exponencial
$latex y=a{{(1-r)}^x}$

Recordemos que la función exponencial tiene la forma básica $latex y=a{{b}^x}$. Entonces, en la fórmula del decrecimiento exponencial, hemos reemplazado a b con $latex 1-r$. Por lo tanto, tenemos:

  • $latex a=$ cantidad inicial. Cantidad inicial antes del decrecimiento.
  • $latex r=$ factor de decrecimiento. Representado como un decimal.
  • $latex x=$ intervalo de tiempo. El tiempo transcurrido.

Muchos eventos naturales pueden ser modelados usando el exponencial e. Podemos pensar en e como una constante universal que puede ser usada para representar al crecimiento o decrecimiento que sucede con procesos continuos.

Además, usando e también podemos representar al crecimiento o decrecimiento medido periódicamente a lo largo del tiempo.

Entonces, si es que tenemos cantidades que crecen o decrecen continuamente con un porcentaje fijo, podemos modelar estos escenarios con la siguiente fórmula:

Decrecimiento Exponencial Continuo
$latex A=A_{0}{{e}^{kt}}$

En esta fórmula tenemos:

  • $latex A=$ cantidad final. Cantidad después del decrecimiento.
  • $latex A_{0}=$ cantidad inicial. Cantidad antes del decrecimiento.
  • $latex e=$ exponencial. e es aproximadamente igual a 2.718…
  • $latex k=$ tasa de crecimiento o decrecimiento continuo. También es denominada la constante de proporcionalidad.
  • $latex t=$ tiempo transcurrido.

Ejercicios de decrecimiento exponencial resueltos

Lo aprendido sobre el decrecimiento exponencial es usado para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Un restaurante sirvió a 5000 clientes el lunes. Hubo una inspección sanitaria y el restaurante obtuvo una baja puntuación, por lo que el martes el restaurante sirvió a 2500 clientes. El miércoles, el restaurante sirvió a 1250 clientes y el jueves solo a 625 clientes.

¿Cuántos clientes tendrá después de cinco días empezando en lunes?

Podemos ver que el número de clientes decrece por 50% cada día. Este tipo de decrecimiento es diferente al decrecimiento lineal. En decrecimiento lineal, la cantidad que disminuye cada día sería la misma cada día.

En este caso, la cantidad inicial es 5000 y el factor de decrecimiento (r) sería 0.5. x representaría a la cantidad de tiempo en días. Entonces, podemos reemplazar estos valores en la fórmula de decrecimiento exponencial:

$latex y=a{{(1-r)}^x}$

$latex y=5000{{(1-0.5)}^5}$

$latex y=312.5$

El resultado es 312.5, pero dado que no podemos tener a un medio cliente, redondeamos esto para tener 313 clientes.

EJERCICIO 2

Un bosque tiene una población de 1000 aves. Debido a la deforestación, la población de aves está decreciendo a una tasa de 5% por año. Calcula el tamaño de la población de aves después de 10 años.

Tenemos que empezar encontrado la función de decrecimiento exponencial que modela a la población de las aves. Entonces, usamos la forma general $latex y=a{{(1-r)}^x}$ con los siguientes datos:

  • $latex a=1000$
  • $latex r=0.05$
  • $latex t=10$

Entonces, tenemos:

$latex y=1000{{(1-0.05)}^{10}}$

$latex y=1000{{(0.95)}^{10}}$

$latex y=599$

La población de aves después de 10 años es 599.

EJERCICIO 3

El valor del modelo de un auto decrece en valor a una tasa continua de 8% por año. Si es que un auto cuesta 20 000 USD cuando es nuevo, ¿cuál será su valor después de 5 años?

Este es un caso de decrecimiento continuo, por lo que tenemos que usar la segunda fórmula dada arriba. Usamos la fórmula $latex y=a{{e}^{kt}}$ con los siguientes datos:

  • $latex a=20000$
  • $latex k=-0.08$
  • $latex t=5$

$latex y=20000({{e}^{-0.08(5)}})$

$latex =20000({{e}^{-0.40}})$

$latex =13406.4$

Entonces, después de 5 años el auto costará 13 406.4 USD.

EJERCICIO 4

Reescribe a la función del problema anterior en la forma $latex y=a{{b}^x}$.

Para escribir a la función $latex y=20000{{e}^{-0.08t}}$ en la forma $latex y=a{{b}^x}$, podemos usar la sustitución $latex b={{e}^k}$. Entonces, tenemos:

$latex b={{e}^k}$

$latex b={{e}^{-0.08}}$

$latex b=0.9231$

⇒  $latex y=20000{{(0.9231)}^x}$

También podemos encontrar el valor de r usando $latex b=1+r$. Entonces, tenemos:

$latex b=0.9231$

$latex 1+r=0.9231$

$latex r=0.9231-1$

$latex r=-0.0769$

Esto significa que la tasa de decrecimiento anual del precio del auto es 7.69%.

EJERCICIO 5

El carbono-14 es un isótopo radioactivo del carbono. Su presencia en materiales organicos es la base del método de datación por radiocarbono. Las cantidades de carbono-14 presentes en los materiales permiten determinar la edad de los especímenes.

Un artefacto tenía 12 gramos de carbono-14. ¿Cuántos gramos de carbono-14 estarán presentes en el artefacto después de 10000 años si es que el modelo $latex A=12{{e}^{-0.000121t}}$ describe la cantidad de carbono-14 presente después de t años?

En este caso, necesitamos encontrar la cantidad de carbono-14 presente después de 10000 años. Entonces, tenemos que resolver para la variable A sustituyendo el valor $latex t=10000$:

$latex A=12{{e}^{-0.000121t}}$

$latex A=12{{e}^{-0.000121(10000)}}$

$latex A=12{{e}^{-1.21}}$

$latex A=3.58$

Entonces, después de 10000 años, el artefacto tendrá aproximadamente 3.58 gramos de carbono-14.

EJERCICIO 6

Un artefacto encontrado en un sitio arqueológico contenía 20% del carbono-14 original. Determina la edad del artefacto usando el modelo de decrecimiento exponencial para el carbono-14 $latex A=A_{0}{{e}^{-0.000121t}}$.

En este caso, queremos encontrar la edad del artefacto, por lo que tenemos que resolver para t.

No tenemos valores específicos de $latex A$ y $latex A_{0}$. Sin embargo, sabemos que el carbono-14 encontrado es 20% del original, por lo que podemos usar $latex A=0.2A_{0}$. Entonces, tenemos:

$latex A=A_{0}{{e}^{-0.000121t}}$

$latex 0.2A_{0}=A_{0}{{e}^{-0.000121t}}$

Si es que dividimos ambos lados por $latex A_{0}$, tenemos:

$latex 0.2={{e}^{-0.000121t}}$

Tomamos el logaritmo natural de ambos lados para eliminar el exponencial:

$latex \ln(0.2)=\ln({{e}^{-0.000121t}})$

$latex \ln(0.2)=-0.000121t$

$latex t=13301$

Entonces, la edad del artefacto es aproximadamente 13301 años.


Ejercicios de decrecimiento exponencial para resolver

Pon en práctica lo aprendido sobre el decrecimiento exponencial con los siguientes ejercicios. Resuelve los ejercicios y selecciona una respuesta. Verifica tu respuesta para comprobar que seleccionaste la correcta.

Cada acción de una empresa costaba 10 dólares. Las acciones decrecieron a una tasa de 3% diario, ¿cuánto tiempo tomará para que las acciones valgan 7.40 dólares?

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Un artefacto tenía 10 gramos de carbono-14 originalmente. Usando el modelo $latex A=A_{0}{{e}^{-0.000121t}}$ determina cuántos gramos de carbono-14 tendrá el artefacto después de 250000 años.

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