Uno de los temas más importantes en el álgebra es el tema de las ecuaciones de primer grado. En este artículo miraremos una introducción a las ecuaciones de primer grado en general para luego enfocarnos en las ecuaciones de primer grado con fracciones.

Miraremos varios ejemplos resueltos para facilitar el aprendizaje de los procesos para resolver este tipo de ecuaciones.

ÁLGEBRA
ejercicios de ecuaciones de primer grado con fracciones

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones de primer grado con fracciones.

Ver proceso

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ejercicios de ecuaciones de primer grado con fracciones

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Aprender a resolver ecuaciones de primer grado con fracciones.

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¿Qué son las ecuaciones de primer grado?

Las ecuaciones de primer grado tienen la característica que pueden ser escritas de la forma ax+b=c, en donde x es una variable o incógnita y a, bc son números conocidos. Para que una ecuación sea de primer grado, debe contener únicamente variables elevadas a la primera potencia después de haber sido reducida a su forma más simple.

Por ejemplo, las ecuaciones 2x+6=-93x-5=x-7 son ecuaciones de primer grado. La ecuación 2{{x}^{2}}+6x-2-2{{x}^{2}}=5 no pareciera que fuera una ecuación de primer grado.

Sin embargo, podemos observar que cuando la escribimos en su forma más simple, es decir, cuando combinamos términos semejantes, los términos que contienen {{x}^{2}} desaparecen y tenemos la ecuación 6x=7. Por lo tanto, esta ecuación es una ecuación de primer grado.

Todas las ecuaciones de primer grado con una incógnita con fracciones tienen exactamente una sola solución.

EJEMPLOS

Las siguientes ecuaciones son de primer grado:

2x+3x+3=15

\frac{1}{2}x+3=\frac{3}{2}+2x

5{{x}^{2}}+2x-4=5{{x}^{2}}+10

4x+{{x}^{3}}-{{x}^{3}}=10


Regla de las ecuaciones

Es posible realizar cualquier operación (adición, sustracción, multiplicación, división) a un lado de la ecuación, siempre y cuando realicemos la misma operación al otro lado de la ecuación.

Por ejemplo, tenemos la ecuación 4x+4=2x-10. Si es que así lo deseamos, podemos sumar 5 a ambos lados de la ecuación: 4x+4+5=2x-10+5.

Observa que con esta ecuación, no fue muy útil haber sumado 5 a ambos lados de la ecuación. Sin embargo, podemos usar la misma idea para aplicar operaciones de una forma que simplifiquen la ecuación y podamos encontrar su solución.

Ahora miraremos un método que podemos usar para resolver ecuaciones de primer grado con fracciones.


Método para resolver ecuaciones de primer grado con fracciones

1. Simplificamos ambos lados:

a. Eliminamos los paréntesis (usando la propiedad distributiva) si es que los hay.

b. Eliminamos las fracciones (multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo).

c. Combinamos los términos semejantes.

2. Despejamos la variable a un solo lado de la ecuación:

Aplicamos sumas y restas de modo que la variable esté en un solo lado de la ecuación y las constantes en el otro lado.

3. Realizamos operaciones para despejar completamente la x.

4. Verificamos la respuesta.


Ejemplos de ecuaciones de primer grado con fracciones

EJEMPLO 1

  • Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{1}{2}x+4(x+2)=14-2x+20.

Solución: 

1. Simplificar: 

Simplificamos los paréntesis: \frac{1}{2}x+4x+8=14-2x+20.

Simplificamos fracciones: x+8x+16=28-4x+40.

Combinamos términos semejantes: 9x+16=68-4x.

2. Despejar la variable: movemos el 16 hacia la derecha y el -4x hacia la izquierda: 

9x+16-16=68-4x-16

9x=52-4x

9x+4x=52-4x+4x

13x=52

3. Realizamos operaciones para que la x esté sola: dividimos ambos lados por 13: 

\frac{13}{13}x=\frac{{52}}{13}

x=\frac{{52}}{13}=4

4. Verifica tu respuesta: reemplazamos el valor en la ecuación original:

\frac{1}{2}(4)+4(4+2)=14-2(4)+20

2+16+8=14-8+20

26=26

Esto es verdadero

Respuesta: x=4

EJEMPLO 2

  • Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{1}{3}x+4+\frac{1}{2}x=9.

Solución: 

1. Simplificar: 

No tenemos paréntesis.

Simplificamos fracciones: multiplicamos por 6: 2x+24+3x=54.

Combinamos términos semejantes: 5x+24=54.

2. Despejar la variable: movemos el 24 hacia la derecha: 

5x+24-24=54-24

5x=30

3. Realizamos operaciones para que la x esté sola: dividimos ambos lados por 5: 

\frac{5}{5}x=\frac{{30}}{5}

x=\frac{{30}}{5}=6

4. Verifica tu respuesta: reemplazamos el valor en la ecuación original:

\frac{1}{3}(6)+4+\frac{1}{2}(6)=9

2+4+3=9

9=9

Esto es verdadero

Respuesta: x=6

EJEMPLO 3

  • Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{1}{2}x+2(x+1)=\frac{1}{5}x+4+x+11.

Solución: 

1. Simplificar: 

Simplificamos los paréntesis: \frac{1}{2}x+2x+2=\frac{1}{5}x+4+x+11.

Simplificamos fracciones: multiplicamos por 10: 5x+20x+20=2x+40+10x+110.

Combinamos términos semejantes: 25x+20=12x+150.

2. Despejar la variable: movemos el 20 hacia la derecha y el 12x hacia la izquierda: 

25x+20-20=12x+150-20

25x=12x+130

25x-12x=12x-12x+130

13x=130

3. Realizamos operaciones para que la x esté sola: dividimos ambos lados por 13: 

\frac{13}{13}x=\frac{{130}}{13}

x=\frac{{130}}{13}=10

4. Verifica tu respuesta: reemplazamos el valor en la ecuación original:

\frac{1}{2}(10)+2(10+1)=\frac{1}{5}(10)+4+10+11

5+2(11)=2+4+10+11

27=27

Esto es verdadero

Respuesta: x=10

EJEMPLO 4

  • Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{1}{3}x-4(x+2)=10-2x+17.

Solución: 

1. Simplificar: 

Simplificamos los paréntesis: \frac{1}{3}x-4x-8=10-2x+17.

Simplificamos fracciones: x-12x-24=30-6x+51.

Combinamos términos semejantes: -11x-24=-6x+81.

2. Despejar la variable: movemos el -24 hacia la derecha y el -6x hacia la izquierda: 

-11x-24+24=-6x+81+24

-11x=-6x+105

-11x+6x=-6x+105+6x

-5x=105

3. Realizamos operaciones para que la x esté sola: dividimos ambos lados por -5: 

\frac{-5}{-5}x=\frac{{105}}{-5}

x=\frac{{105}}{-5}=-21

4. Verifica tu respuesta: reemplazamos el valor en la ecuación original:

\frac{1}{3}(-21)-4(-21+2)=10-2(-21)+17

-7-4(-19)=10+42+17

-7+76=10+42+17

69=69

Esto es verdadero

Respuesta: x=-21


Inténtalo tú mismo – Resuelve los siguientes ejercicios

Resuelve la ecuación \frac{1}{3}x+2=2x-3.

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Simplifica la expresión \frac{1}{2}x+2=\frac{1}{3}x+3.

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Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{3}{2}x+2(x-2)=10.

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Encuentra el valor de x en la ecuación \frac{2}{5}x+5(x-4)=x+2.

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Véase también

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