Las parábolas son secciones cónicas que son obtenidas cuando un cono es cortado por un plano. El plano que corta al cono debe ser paralelo a un lado del cono. Las parábolas también son definidas como el conjunto de los puntos (x, y) que son equidistantes desde una línea, llamada la directriz, y un punto fijo llamado el foco.
A continuación, aprenderemos a determinar las ecuaciones de parábolas que tienen un vértice fuera del origen. Además, conoceremos cómo graficar parábolas a partir de las ecuaciones.
PRECÁLCULO
Relevante para…
Conocer sobre la ecuación de la parábola que tiene vértice fuera del origen.
PRECÁLCULO
Relevante para…
Conocer sobre la ecuación de la parábola que tiene vértice fuera del origen.
Parábolas con vértice fuera del origen
Las parábolas no siempre tienen su vértice en el punto (0, 0). Muchas veces, las parábolas tienen a su vértice fuera del origen en el punto $latex (h, k)$.
Recordemos que la ecuación de una parábola cuando el vértice está ubicado en el origen es $latex {{x}^2}=4py$ o $latex {{y}^2}=4px$. Además, recordemos que la forma vértice de una parábola es $latex y=a{{(x-h)}^2}-k$.
Al combinar estas ecuaciones, podemos obtener una ecuación para parábolas con vértice fuera del origen.
Empezamos resolviendo para $latex {{(x-h)}^2}$:
$latex y=a{{(x-h)}^2}-k$
$latex {{(x-h)}^2}=\frac{1}{a}(y-k)$
También, tenemos la ecuación $latex {{x}^2}=4py$. Al comparar a estas dos ecuaciones, tenemos $latex 4p=\frac{1}{a}$. Entonces:
$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$
Si es que la parábola está orientada horizontalmente, la ecuación será $latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$. Los valores de h y k siempre permanecen junto a los valores de x y de y respectivamente.
En los diagramas podemos ver que, dependiendo en cuál variable esté elevada al cuadrado, la parábola se orienta horizontal o verticalmente. Cuando la x es elevada al cuadrado, la parábola está orientada verticalmente y cuando la y es elevada al cuadrado, la parábola está orientada horizontalmente.
Además, si es que el valor de p es mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba o hacia la derecha, es decir, hacia la parte positiva de los ejes. Por otra parte, cuando el valor de p es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda o hacia abajo, es decir, hacia la parte negativa de los ejes.
Gráficas de parábolas con vértice fuera del origen en su forma estándar
Vamos a analizar la ecuación $latex {{(y-3)}^2}=8(x+2)$. Tenemos que empezar encontrando el vértice, el eje de simetría, el foco, y la directriz. Luego, determinaremos si es que la parábola se abre hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda.
Debido a que y está elevada al cuadrado, sabemos que la parábola está orientada horizontalmente y se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Además, debido a que p, en este caso 8, es positivo, sabemos que la parábola debe abrirse hacia la derecha.
Usando la ecuación general $latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$, sabemos que el vértice es el punto $latex (h, k)$. En este caso, el vértice es $latex (-2, 3)$ y el eje de simetría es $latex y=1$.
Además, al formar la ecuación $latex 4p=8$, sabemos que $latex p=2$. Al sumar p al valor de x del vértice, tenemos el foco, $latex (0, 3)$. Al restar a p del valor de x del vértice, tenemos la directriz, $latex x=-4$.
Además de los puntos críticos encontrados, tenemos que determinar un par de puntos simétricos que son parte de la curva para graficar a la parábola correctamente. Si es que tenemos $latex x=6$, entonces, tenemos $latex y=11$ y $latex y=-5$. Esto significa que ambos valores son parte de la parábola.
Ejercicios de ecuaciones de parábolas con vértice fuera del origen resueltos
Las ecuaciones de parábolas que tienen a su vértice fuera del origen son usadas para resolver los siguientes ejercicios. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la ecuación de la parábola que tiene un vértice en (-2, 4) y su directriz es $latex y=7$?
Solución
Tenemos que empezar determinando la orientación de la parábola. Debido a que la directriz es horizontal, sabemos que la parábola se abrirá hacia arriba o hacia abajo. Además, sabemos que la directriz se ubica encima del vértice, lo que significa que la parábola se abre hacia abajo y p será negativo.
Usamos el vértice $latex (h, k)$ para encontrar el valor de p. La ecuación para una directriz horizontal es $latex y=k-p$. Entonces, tenemos:
$latex 7=4-p$
$latex 3=-p$
$latex p=-3$
Usando la forma general, tenemos la siguiente ecuación para la parábola:
$latex {{(x-h)}^2}=4p(y-k)$
$latex {{(x-(-2))}^2}=4(-3)(y-4)$
$latex {{(x+2)}^2}=-12(y-4)$
EJERCICIO 2
Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de $latex {{(x+3)}^2}=4(y+4)$.
Solución
Comparando a esta ecuación con la ecuación general, sabemos que el vértice es $latex (-3, -4)$. Además, sabemos que la parábola se abre hacia arriba ya que la x está elevada al cuadrado y p es positivo.
Podemos formar la ecuación $latex 4p=4$. Al resolver esto, tenemos $latex p=1$. Entonces, el foco es $latex (-3, -4+1)=(-3, -3)$. El eje de simetría es $latex x=-3$ y la directriz es $latex y=-3-1=-4$.
EJERCICIO 3
Encuentra la ecuación de la parábola que tiene un vértice en (-5, -1) y el foco en (-8, -1).
Solución
Dado que el vértice es $latex (-5, -1)$, sabemos que tenemos $latex h=-5$ y $latex k=-1$. Además, el foco es (-8, -1), lo que significa que la parábola será horizontal, ya que las coordenadas en y del vértice y el foco son las mismas. Esto significa que p es restado o sumado de h.
El foco es igual a $latex (h+p, k)=(-8,-1)$. De esto, tenemos lo siguiente:
$latex h+p=-8$
$latex -5+p=-8$
$latex p=-3$
Entonces, la ecuación de la parábola es:
$latex {{(y-k)}^2}=4p(x-h)$
$latex {{(y-(-1))}^2}=4(-3)(x-(-5))$
$latex {{(y+1)}^2}=-12(x+5)$
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
