La elipse es una sección cónica que es formada cuando un plano interseca a un cono. El plano tiene que cortar al cono a un ángulo con respecto a la base del cono. También, podemos definir a las elipses como el conjunto de todos los puntos de tal forma que, la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos son llamados los focos de la elipse. Los ejes de simetría junto con los vértices son usados para definir a la elipse. El eje de simetría más largo es denominado el eje mayor y el eje más corto es denominado el eje menor. Los vértices son los puntos extremos del eje mayor y los covértices son los puntos extremos del eje menor. Una característica importante de las elipses es que los focos siempre se ubican en el eje mayor.
En este artículo, conoceremos a las ecuaciones de la elipse. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de una elipse. Primeramente, estas variaciones dependen en la ubicación del centro (en el origen o fuera del origen). Luego, tenemos variaciones dependiendo en la orientación de la elipse (horizontal o vertical).
Ecuación de elipses con centro en el origen
Las ecuaciones de elipses con centro en el origen pueden tener dos variaciones dependiendo en su orientación. Podemos tener elipses horizontales o elipses verticales.
Elipses horizontales con centro en el origen
La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la que su eje mayor es paralelo al eje x es:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- $latex a>b$
- El eje mayor tiene una longitud de $latex 2a$
- El eje menor tiene una longitud de $latex 2b$
- Los vértices se ubican en los puntos $latex (\pm a, 0)$
- Los covértices se ubican en los puntos $latex (0, \pm b)$
- Los focos se ubican en los puntos $latex (\pm c, 0)$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Elipses verticales con centro en el origen
La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, (0, 0), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y es:
| $latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$ |
en donde,
- $latex a>b$
- El eje mayor tiene una longitud de $latex 2a$
- El eje menor tiene una longitud de $latex 2b$
- Los vértices tienen las coordenadas $latex (0, \pm a)$
- Los covértices tienen las coordenadas $latex (\pm b, 0)$
- Los focos tienen las coordenadas $latex (0, \pm c)$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Determinar la ecuación de elipses con centro en el origen usando los vértices y los focos
Si es que conocemos las coordenadas de los vértices y de los focos, podemos seguir los siguientes pasos para encontrar la ecuación de una elipse centrada en el origen:
Paso 1: Encontramos la ubicación del eje mayor con respecto al eje x o al eje y.
1.1. Cuando los vértices tienen coordenadas de la forma $latex (\pm a, 0)$ y los focos tienen coordenadas de la forma $latex (\pm c, 0)$, el eje mayor es paralelo al eje x. En estos casos, usamos la ecuación $latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Cuando los vértices tienen coordenadas de la forma $latex (0, \pm a)$ y los focos tienen coordenadas de la forma $latex (0, \pm c)$, el eje mayor es paralelo al eje y. Entonces, usamos la ecuación $latex \frac{{{x}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{a}^2}}=1$.
Paso 2: Encontramos el valor de $latex {{b}^2}$ usando la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$ junto con las coordenadas de los vértices y los focos.
Paso 3: Usamos la forma estándar obtenida en el paso 1 junto con los valores de $latex {{a}^2}$ y $latex {{b}^2}$ para determinar la ecuación de la elipse.
EJEMPLO
¿Cuál es la ecuación de la elipse que tiene vértices en $latex (\pm 7, 0)$ y focos en $latex (\pm 4, 0)$?
Solución
Vemos que los focos están ubicados en el eje x. Esto significa que el eje mayor se encuentra en el eje x, por lo que tenemos la ecuación:
$latex \frac{{{x}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$
De los vértices $latex (\pm 7, 0)$, tenemos $latex a=7$. Entonces, sabemos que $latex {{a}^2}=64$.
De los focos $latex (\pm 4, 0)$, tenemos $latex c=4$. Entonces, sabemos que $latex {{c}^2}=16$.
Encontramos el valor de $latex {{b}^2}$ usando la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$:
$latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
$latex 16=64-{{b}^2}$
$latex {{b}^2}=48$
Usando los valores encontrados en la forma estándar, tenemos:
$latex \frac{{{x}^2}}{64}+\frac{{{y}^2}}{48}=1$
Ecuación de elipses con centro fuera del origen
Para obtener la ecuación de elipses con centro fuera del origen, usamos la forma estándar de elipses con centro en el origen y aplicamos traslaciones.Al trasladar a la elipse h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, su centro estará en (h, k).
Entonces, usamos la forma estándar reemplazando a x con $latex (x-h)$ y a y con $latex (y-k)$.
En estos casos, también tenemos dos variaciones de la ecuación de elipses dependiendo en su orientación vertical u horizontal.
Elipses horizontales con centro fuera del origen
Una elipse que tiene un centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje x, tiene la ecuación:
| $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-h)}^2}}{{{b}^2}}=1$ |
en donde,
- $latex a>b$
- La longitud del eje mayor es $latex 2a$
- La longitud del eje menor es $latex 2b$
- Los vértices tienen las coordenadas $latex (h\pm a, k)$
- Los covértices tienen las coordenadas $latex (h, k\pm b)$
- Los focos tienen las coordenadas $latex (h \pm c, k)$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Elipses verticales con centro fuera del origen
Una elipse que tiene al centro en (h, k), y en la que su eje mayor es paralelo al eje y tiene la ecuación:
| $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$ |
en donde,
- $latex a>b$
- El eje mayor mide $latex 2a$
- El eje menor mide $latex 2b$
- Las coordenadas de los vértices son $latex (h, k\pm a)$
- Las coordenadas de los covértices son $latex (h\pm b, k)$
- Las coordenadas de los focos son $latex (h, k\pm c)$, en donde, $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
Determinar la ecuación de elipses con centro fuera del origen usando los vértices y los focos
Si es que conocemos las coordenadas de los vértices y los focos, podemos encontrar la ecuación de elipses con centro fuera del origen usando los siguientes pasos:
Paso 1: Encontrar la orientación del eje mayor con respecto al eje x o al eje y.
1.1. Cuando las coordenadas en y de los vértices son las mismas que las coordenadas en y de los focos, el eje mayor es paralelo al eje x. Entonces, usamos la ecuación $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{a}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{b}^2}}=1$.
1.2. Cuando las coordenadas en x de los vértices son las mismas que las coordenadas en y de los focos, el eje mayor es paralelo al eje y. Entonces, usamos la ecuación $latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$.
Paso 2: Usamos las coordenadas de los vértices y la fórmula del punto medio para determinar el centro (h, k).
Paso 3: Usamos la longitud del eje mayor, 2a, para determinar $latex {{a}^2}$. Por su parte, esta longitud es encontrada al determinar la distancia entre los dos vértices.
Paso 4: Usamos los valores de h y k junto con las coordenadas de los focos para determinar $latex {{c}^2}$.
Paso 5: Usamos la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$ para encontrar el valor de $latex {{b}^2}$.
Paso 6: Usamos los valores de $latex {{a}^2}$, $latex {{b}^2}$, h y k en la ecuación obtenida en el paso 1.
EJEMPLO
Si es que una elipse tiene los vértices en $latex (-1, -9)$ y $latex (-1, 3)$ y los focos en $latex (-1, -8)$ y $latex (-1, 2)$, ¿cuál es su ecuación?
Solución
Determinamos que el eje mayor es paralelo al eje y, ya que las coordenadas en x de los vértices y los focos son iguales. Entonces, usamos la ecuación:
$latex \frac{{{(x-h)}^2}}{{{b}^2}}+\frac{{{(y-k)}^2}}{{{a}^2}}=1$
El centro está ubicado entre los vértices $latex (-1, -9)$ y $latex (-1, 3)$. Entonces, usamos la fórmula del punto medio para encontrarlo:
$latex (h, k)=(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{-9+3}{2})$
$latex =(-1, -3)$
Para encontrar a $latex {{a}^2}$, determinamos la longitud del eje mayor, $latex 2a$. Esta longitud va desde un vértice hasta el otro. Entonces, la distancia entre los vértices es:
$latex 2a=3-(-9)$
$latex 2a=12$
$latex a=6$
Eso significa que tenemos $latex {{a}^2}=36$.
Para encontrar $latex {{c}^2}$, usamos las coordenadas de una elipse vertical, $latex (h, k\pm c)$. Entonces, tenemos $latex (h, k-c)=(-1,-8)$ y $latex (h, k+c)=(-1,2)$. Si es que usamos $latex k=-3$ en uno de los puntos, tenemos:
$latex k+c=2$
$latex -3+c=2$
$latex c=5$
Eso significa que $latex {{c}^2}=25$.
Determinamos el valor de $latex {{b}^2}$ usando la ecuación $latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$:
$latex {{c}^2}={{a}^2}-{{b}^2}$
$latex 25=36-{{b}^2}$
$latex {{b}^2}=11$
Reemplazando todos estos valores en la forma estándar, tenemos:
$latex \frac{{{(x+1)}^2}}{11}+\frac{{{(y+3)}^2}}{36}=1$
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre elipses? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
