Derivada de x tan(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La función x multiplicada por la tangente de x es un producto de la función monomial x y la función trigonométrica tangente. La derivada de x multiplicada por la tangente de x es igual a x multiplicada por la secante al cuadrado de x y luego sumada a la tangente de x, xsec²(x) + tan(x). Podemos demostrar esta derivada usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función tangente trigonométrica o la función tangente inversa.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica tangente. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de tangente y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-tanx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x tan(x).

Ver demostraciones

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-tanx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x tan(x).

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Demostraciones de la derivada de x tan(x)

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\tan{(x)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x tan(x) usando la fórmula de la regla del producto

Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo Regla del producto de las derivadas. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada de la tangente: Derivada de la tangente, tan(x).

Tenemos la función

$$ f(x) = x\tan{(x)}$$

En este caso, tenemos un producto de un monomio y una tangente trigonométrica del ángulo x. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos

$$ u = x$$

y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos

$$ v = \tan{(x)}$$

Recuerda que la regla del producto es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\tan{(x)}) + (\tan{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada de la tangente, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (\sec^{2}{(x)}) + (\tan{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)}) $$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada de \(x\tan{(x)}\).

$$ \frac{d}{dx} x\tan{(x)} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)}) $$

Demostración de la derivada de x tan(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función trigonométrica tangente

Se le recomienda aprender/repasar la regla del cociente, la derivada de la función trigonométrica tangente y la diferenciación implícita para esta demostración.

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\tan{(x)}$$

Cruzando el multiplicando del primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \tan{(x)}$$

Evaluamos la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la regla del cociente en el lado izquierdo y la derivada de la tangente en el lado derecho.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \tan{(x)}$$

Recuerda que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \tan{(x)} $$

Derivando el lado derecho de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \sec^{2}{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \sec^{2}{(x)} $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \sec^{2}{(x)} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec^{2}{(x)} + y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec^{2}{(x)}}{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos que \( y = x\tan{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec^{2}{(x)}}{x} + \frac{x\tan{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$

Ahora tenemos la derivada de \( y = x\tan{(x)} \)

$$ y’ = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$

Demostración de la derivada de x tan(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función tangente inversa

Se recomienda aprender/repasar la fórmula de la regla de la cadena, la regla de la derivada para los cocientes, la derivada de la tangente inversa y la diferenciación implícita para esta demostración.

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\tan{(x)}$$

Cruzando el multiplicando del primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \tan{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función tangente. Hacer esto implicará el proceso de la función tangente inversa.

$$ \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

Evaluamos la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la fórmula de la regla de la cadena en el lado izquierdo que involucra la regla del cociente y la derivada de la tangente inversa; y luego en el lado derecho, una regla de potencia simple.

$$ \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } = 1 $$

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 $$

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right)}{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos que \( y = x\tan{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \left( 1 + \left( \frac{x\tan{(x)}}{x} \right)^2 \right)}{x} + \frac{x\tan{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x \left( 1 + \left( \frac{x\tan{(x)}}{x} \right)^2 \right) + \tan{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x \left( 1 + (\tan{(x)})^2 \right) + \tan{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x \left( 1 + \tan^{2}{(x)}) \right) + \tan{(x)} $$

Recuerda que aquí podemos aplicar una identidad trigonométrica usando \( \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)} \), también llamada fórmula de Pitágoras para tangentes y secantes . Aplicando esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x \left( \sec^{2}{(x)} \right) + \tan{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$

Al igual que las dos primeras pruebas, ahora tenemos la derivada de \( y = x\tan{(x)} \)

$$ y’ = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$


Cómo derivar x tan(x)

Antes de comenzar con el proceso paso a paso y como resumen, la derivada de \( x\tan{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\tan{(x)} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$

Derivada de x tan(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que se multiplican. Marca el primer multiplicando/término como u y el segundo como v.

$$ u = x $$

$$ v = \tan{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula de la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Aplica la fórmula de la regla del producto para derivar \( x\tan(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \tan{(x)} + \tan{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Usa las fórmulas de derivadas apropiadas para u y v. En este caso, usa la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada de la tangente para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y aplica algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\tan{(x)} = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)} $$


Gráfica de x tan (x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\tan{(x)}$$

el gráfico se ilustra como

gráfico-de-fx-xtanx

Y como aprendimos anteriormente, derivar \(f(x) = x\tan{(x)}\) será

$$ f'(x) = x\sec^{2}{(x)} + \tan{(x)}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfico de la derivada de xtanx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de xtanx-su-derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficos, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\tan{(x)}\) como su derivada \(f'(x) = x\sec ^{2}{(x)} + \tan{(x)} \) tienen un dominio similar de

$$ \left( -\frac{5\pi}{2} , -\frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( -\frac{3\pi}{2} , -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} \right) $$

dentro de los intervalos finitos de

$$ -\frac{5\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} $$

y ambos también se encuentran dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo muestra cómo derivar una variable multiplicada por la tangente de la misma variable utilizando la fórmula de la regla del producto.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\tan{(\beta)}\)

Solución: Usando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinar u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \tan{(\beta)} $$

Recuerda y aplica la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\tan{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \tan{(\beta)} + \tan{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Deriva u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot \sec^{2}{(\beta)} + \tan{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplifica algebraicamente y aplica algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \sec^{2}{(\beta)} + \tan{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\tan{(\beta)} = \beta \sec^{2}{(\beta)} + \tan{(\beta)} $$


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