Derivada de x sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La x multiplicada por el seno de la función x es un producto de la función monomial x y la función trigonométrica del seno. La derivada de x multiplicada por el seno de x es igual a x multiplicada por el coseno de x y luego sumada al seno de x, xcos(x) + sin(x). Podemos probar esta derivada usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función trigonométrica del seno o la función del seno inverso.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica seno. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de tangente y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-senx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x sin(x).

Ver demostraciones

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Derivado-de-x-senx

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Aprender a encontrar la derivada de x sin(x).

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Demostraciones de la derivada de x sin(x)

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\sin{(x)}\). Estas pruebas también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x sin(x) usando la fórmula de la regla del producto

Para derivar \(x\sin{(x)}\), podemos usar la regla del producto, ya que la x se multiplica por el seno trigonométrico de x. Aquí, tenemos dos multiplicando, $latex x$ y $latex \sin(x)$.

Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del producto de las derivadas. También puedes consultar este artículo para ver la prueba de la derivada trigonométrica del seno usando límites: Derivada del seno, sin(x).

Tengamos la derivada de la función

$$ f(x) = x\sin{(x)}$$

Podemos averiguar las dos funciones que se multiplican. En este caso, es un producto de un monomio y un seno trigonométrico del ángulo x. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos

$$ u = x$$

y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos

$$ v = \sin{(x)}$$

Recuerde que la regla del producto es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Es decir, la función u por v se obtiene multiplicando u por la derivada de v y luego sumando v multiplicada por la derivada de u. Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\sin{(x)}) + (\sin{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada del seno, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (\cos{(x)}) + (\sin{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = x\cos{(x)} + \sin{(x)}) $$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(x\sin{(x)}\).

$$ \frac{d}{dx} x\sin{(x)} = x\cos{(x)} + \sin{(x)}) $$

Demostración de la derivada de xsin(x) usando la diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función trigonométrica del seno

Dado que la ecuación

$$ y = x\sin{(x)}$$

Cruzando el multiplicando del primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \sin{(x)}$$

Ahora, evaluamos la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la regla del cociente en el lado izquierdo y la derivada del seno en el lado derecho.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \sin{(x)}$$

Recuerda que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \sin{(x)} $$

Derivando el lado derecho de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \cos{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \cos{(x)} $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \cos{(x)} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \cos{(x)} + y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \cos{(x)}}{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos que \( y = x\sin{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \cos{(x)}}{x} + \frac{x\sin{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x \cos{(x)} + \sin{(x)} $$

Ahora tenemos la derivada de \( y = x\sin{(x)} \)

$$ y’ = x \cos{(x)} + \sin{(x)} $$

Demostración de la derivada de x sin(x) usando la diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función del seno inverso

Dado que la ecuación

$$ y = x\sin{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \sin{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función seno. Hacer esto implicará el proceso de la función seno inversa.

$$ \sin^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

Evaluamos la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la fórmula de la regla de la cadena en el lado izquierdo que involucra la regla del cociente y la derivada del seno inverso; y luego en el lado derecho, una regla de potencia simple.

$$ \frac{d}{dx} \left( \sin^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}} \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} } = 1 $$

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} $$

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}}{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos desde el principio que \( y = x\sin{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{x\sin{(x)}}{x}\right)^2}}{x} + \frac{x\sin{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x \sqrt{1-(\sin{(x)})^2} + \sin{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x \sqrt{1-\sin^{2}{(x)}} + \sin{(x)} $$

Recuerda que aquí podemos aplicar una identidad trigonométrica usando \( \sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)} = 1 \), también llamada fórmula de Pitágoras para senos y cosenos. Aplicando esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x \sqrt{\cos^{2}{(x)}} + \sin{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x \cos{(x)} + \sin{(x)} $$

Al igual que las dos primeras pruebas, ahora tenemos la derivada de \( y = x\sin{(x)} \)

$$ y’ = x \cos{(x)} + \sin{(x)} $$


Cómo derivar la función x sin(x)

Antes de comenzar con el proceso paso a paso y como resumen, la derivada de \( x\sin{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\sin{(x)} = x\cos{(x)} + \sin{(x)} $$

Derivada de x sin(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que se multiplican. Marca el primer multiplicando/término como u y el segundo como v.

$$ u = x $$

$$ v = \sin{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula de la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Aplica la fórmula de la regla del producto para derivar \( x\sin(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \sin{(x)} + \sin{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Usa las fórmulas de derivadas apropiadas para u y v. En este caso, usa la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada del seno para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \cos{(x)} + \sin{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y aplica algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{dy}{dx} = x \cos{(x)} + \sin{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\sin{(x)} = x\cos{(x)} + \sin{(x)} $$


Gráfica de x sin(x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\sin{(x)}$$

el gráfico se ilustra como

gráfico-de-fx-xsinx

Y como aprendimos anteriormente, al derivar \(f(x) = x\sin{(x)}\), tenemos

$$ f'(x) = x\cos{(x)} + \sin{(x)}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfico de la derivada de xsinx

Ilustrando ambos gráficos en uno, tenemos

Gráfico de xsinx-y-su-derivado

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficos, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\sin{(x)}\) como su derivada \(f'(x) = x\cos {(x)} + \sin{(x)} \) tienen un dominio similar de

\( (-\infty,\infty) \) o \( x | x \in \mathbb{R} \)

y ambos también se encuentran dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo muestra cómo derivar una variable multiplicada por el seno de la misma variable utilizando la fórmula de la regla del producto.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\sin{(\beta)}\)

Solución: Usando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinamos u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \sin{(\beta)} $$

Recordamos y aplicamos la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\sin{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \sin{(\beta)} + \sin{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Derivamos u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot \cos{(\beta)} + \sin{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplificamos algebraicamente y aplicamos algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cos{(\beta)} + \sin{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\sin{(\beta)} = \beta \cos{(\beta)} + \sin{(\beta)} $$


Ver también

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