Derivada de x sec(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La función x multiplicada por la secante de x es un producto de la función monomial x y la función trigonométrica de la secante. La derivada de x multiplicada por la secante de x es igual a x multiplicada por la secante y la tangente de x y luego sumada a la secante de x, xsec(x)tan(x) + tan(x). Esta derivada se puede probar usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función secante trigonométrica o la función secante inversa.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica secante. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de la secante y su derivada, pruebas, métodos para derivar y un ejemplo.

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-secx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x sec(x).

Ver demostraciones

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Derivado-de-x-secx

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Aprender a encontrar la derivada de x sec(x).

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Demostración de la derivada de x sec(x)

Las demostraciones de la derivada de \(x\sec{(x)}\) se enumeran a continuación. Estas demostraciones también se pueden utilizar como métodos para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x sec(x) usando la fórmula de la regla del producto

Puede revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del producto de las derivadas. También puedes ver la demostración de la derivada de la secante en este artículo: Derivada de la secante, sec(x).

Supongamos que se nos pide derivar la función

$$ f(x) = x\sec{(x)}$$

Podemos deducir qué dos funciones se están multiplicando. Es un producto de un monomio y la secante trigonométrica del ángulo x en este caso. Con u como el primer multiplicando/término, tenemos

$$ u = x$$

y con v como el segundo multiplicando/término, tenemos

$$ v = \sec{(x)}$$

Tenga en cuenta que la fórmula del producto para la derivada es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Cuando aplicamos esta fórmula a nuestra función dada, obtenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\sec{(x)}) + (\sec{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando, tenemos la derivada de u usando la regla de la potencia y la derivada de v usando la derivada de la secante.

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)}) + (\sec{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Resultando en la fórmula derivada de \(x\sec{(x)}\)

$$ \frac{d}{dx} x\sec{(x)} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Demostración de la derivada de xsec(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función secante trigonométrica

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\sec{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \sec{(x)}$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, utilizaremos la regla del cociente, y en el lado derecho, usaremos la derivada de la secante.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \sec{(x)}$$

Ten en cuenta que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \sec{(x)} $$

Cuando aplicamos esto al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \sec{(x)}\tan{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 (\sec{(x)}\tan{(x)}) $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \sec{(x)}\tan{(x)} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec{(x)}\tan{(x)} + y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec{(x)}\tan{(x)}}{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos que \( y = x\sec{(x)} \). Sustituyendo esto por y en nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sec{(x)}\tan{(x)}}{x} + \frac{x\sec{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Esto también nos da la fórmula derivada para \( y = x\sec{(x)} \)

$$ y’ = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Demostración de la derivada de x sec(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función secante inversa

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\sec{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \sec{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función secante. Esto requerirá el uso de la función secante inversa.

$$ \sec^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, usaremos la fórmula de la regla de la cadena, que incluye la regla del cociente y la derivada de la secante inversa, y en el lado derecho, usaremos una regla de potencia básica.

$$ \frac{d}{dx} \left( \sec^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( \frac{1}{ \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } } \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ \frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 }} = 1 $$

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } $$

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \cdot \left( \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } \right) $$

$$ x \frac{dy}{dx} = x^2 \left( \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } \right) + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ \frac{x^2y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ xy \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ xy \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } }{x} + \frac{y}{x} $$

Recordamos que \( y = x\sec{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ x(x\sec{(x)}) \sqrt{ \left( \frac{x\sec{(x)}}{x} \right)^2 – 1 } }{x} + \frac{x\sec{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = (x\sec{(x)}) \sqrt{ \left( \frac{x\sec{(x)}}{x} \right)^2 – 1 } + \sec{(x)}$$

$$ \frac{dy}{dx} = (x\sec{(x)}) \sqrt{(\sec{(x)})^2 – 1} + \sec{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = (x\sec{(x)}) \sqrt{\sec^{2}{(x)} – 1} + \sec{(x)} $$

Recordamos que aquí podemos usar una identidad trigonométrica empleando \( \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)} \), que se conoce como la fórmula de Pitágoras para las tangentes y secantes. Al utilizar esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = (x\sec{(x)}) \sqrt{\tan^{2}{(x)}} + \sec{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = (x\sec{(x)}) \cdot (\tan{(x)}) + \sec{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Ahora obtenemos la derivada de \( y = x\sec{(x)} \) como en las dos demostraciones anteriores.

$$ y’ = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$


Cómo derivar x sec(x)

Antes de comenzar el procedimiento paso a paso, para resumir, la derivada de \( x\sec{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\sec{(x)} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Derivada de x sec(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que serán multiplicadas. El primer multiplicando/término se denotará por u, y el segundo por v.

$$ u = x $$

$$ v = \sec{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula de la derivada para la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Usando la fórmula de la regla del producto, comienza a derivar \( x\sec(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \sec{(x)} + \sec{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Para las derivadas de u y v, usa las fórmulas de derivadas adecuadas. En este caso, usa la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada de la secante para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)}) + \sec{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y usa identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{dy}{dx} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\sec{(x)} = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} $$


Gráfica de x sec(x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\sec{(x)}$$

el gráfico se representa como

gráfico-de-fx-xsecx

Y, como se discutió anteriormente, la derivada de \(f(x) = x\sec{(x)}\) es

$$ f'(x) = x\sec{(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)}$$

que se representa gráficamente como

Gráfica de la derivada de xsecx

Representando ambas gráficas en una, obtenemos

Gráfica de xsecx-y-su-derivada

Usando estos gráficos para comparar las diferencias entre estas funciones, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\sec{(x)}\) como su derivada \(f'(x) = x\sec {(x)}\tan{(x)} + \sec{(x)} \) da como resultado el mismo dominio de

$$ \left( -\frac{5\pi}{2} , -\frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( -\frac{3\pi}{2} , -\frac{\pi}{2} \right) \cup \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} \right) $$

dentro de los intervalos finitos de

$$ -\frac{5\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} $$

los cuales también están dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo explica cómo usar la fórmula de la regla del producto para derivar una variable multiplicada por la secante de la misma variable.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\sec{(\beta)}\)

Solución: Aplicando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinamos u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \sec{(\beta)} $$

Usamos la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\sec{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \sec{(\beta)} + \sec{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Derivamos u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot (\sec{(\beta)}\tan{(\beta)}) + \sec{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplificamos algebraicamente y usamos identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \sec{(\beta)}\tan{(\beta)} + \sec{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\tan{(\beta)} = \beta \sec{(\beta)}\tan{(\beta)} + \sec{(\beta)} $$


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