Derivada de x csc(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La función x multiplicada por la cosecante de x es un producto de la función monomial x y la función trigonométrica de la cosecante. La derivada de x multiplicada por la cosecante de x es igual a la cosecante de x restada por x multiplicada por la cosecante y la cotangente de x, csc(x) – xcsc(x)cot(x). Esta derivada se puede probar usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función cosecante trigonométrica o la función cosecante inversa.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica cosecante. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de cosecante y su derivada, pruebas, métodos para derivar y un ejemplo.

GEOMETRÍA
Derivada-de-x-cscx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x csc(x).

Ver demostraciones

GEOMETRÍA
Derivada-de-x-cscx

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Aprender a encontrar la derivada de x csc(x).

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Demostraciones de la derivada de x csc(x)

Las demostraciones de la derivada de \(x\csc{(x)}\) se enumeran a continuación. Estas demostraciones también se pueden utilizar como métodos para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x csc(x) usando la fórmula de la regla del producto

Puede revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del producto de las derivadas. También puedes encontrar la demostración de la derivada trigonométrica de la cosecante en este artículo: Derivada de la cosecante, csc(x).

Supongamos que se nos pide derivar la función

$$ f(x) = x\csc{(x)}$$

Podemos deducir que dos funciones se están multiplicando. Es un producto de un monomio y la cosecante trigonométrica del ángulo x en este caso. Con u como el primer multiplicando/término, tenemos

$$ u = x$$

y con v como el segundo multiplicando/término, tenemos

$$ v = \csc{(x)}$$

Tenga en cuenta que la fórmula del producto para la derivada es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Cuando aplicamos esta fórmula a nuestra función dada, obtenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\csc{(x)}) + (\csc{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando, obtenemos la derivada de u usando la regla de la potencia y la derivada de v usando la derivada de la cosecante.

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)}) + (\csc{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = -((x) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})) + (\csc{(x)}) \cdot (1) $$

$$ \frac{d}{dx} uv = -x\csc{(x)}\cot{(x)} + \csc{(x)} $$

$$ \frac{d}{dx} uv = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Resultando en la fórmula derivada de \(x\csc{(x)}\)

$$ \frac{d}{dx} x\csc{(x)} = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Demostración de la derivada de x csc(x) usando la diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función trigonométrica cosecante

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\csc{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \csc{(x)}$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, utilizaremos la regla del cociente, y en el lado derecho, usaremos la derivada de la cosecante.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \csc{(x)}$$

Ten en cuenta que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \csc{(x)} $$

Cuando aplicamos esto al lado derecho de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = -\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 (-\csc{(x)}\cot{(x)}) $$

$$ x \frac{dy}{dx} = – x^2 \csc{(x)}\cot{(x)} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y – x^2 \csc{(x)}\cot{(x)}}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{x^2 \csc{(x)}\cot{(x)}}{x} $$

Recordamos que \( y = x\csc{(x)} \). Sustituyendo esto por y en nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x\csc{(x)}}{x} – \frac{x^2 \csc{(x)}\cot{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Esto también nos da la fórmula derivada para \( y = x\csc{(x)} \)

$$ y’ = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Demostración de la derivada de x csc(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función cosecante inversa

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\csc{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \csc{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función cosecante. Esto requerirá el uso de la función cosecante inversa.

$$ \csc^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, usaremos la fórmula de la regla de la cadena, que incluye la regla del cociente y la derivada de la inversa de la cosecante, y en el lado derecho, usaremos una regla de potencia básica.

$$ \frac{d}{dx} \left( \csc^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( -\frac{1}{ \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } } \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ -\frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 }} = 1 $$

$$ -\frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } $$

$$ -x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \cdot \left( \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } \right) $$

$$ -x \frac{dy}{dx} = x^2 \left( \frac{y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } \right) + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ \frac{x^2y}{x} \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ xy \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ xy \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } }{x} + \frac{y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{ xy \sqrt{ \left( \frac{y}{x} \right)^2 – 1 } }{x} $$

Recordamos que \( y = x\csc{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x\csc{(x)}}{x} – \frac{ x(x\csc{(x)}) \sqrt{ \left( \frac{x\csc{(x)}}{x} \right)^2 – 1 } }{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – (x\csc{(x)}) \sqrt{ \left( \frac{x\csc{(x)}}{x} \right)^2 – 1 } $$

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – (x\csc{(x)}) \sqrt{(\csc{(x)})^2 – 1} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – (x\csc{(x)}) \sqrt{\csc^{2}{(x)} – 1} $$

Recuerda que aquí podemos usar una identidad trigonométrica empleando \( \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)} \), que se conoce como la fórmula de Pitágoras para cotangentes y cosecantes. Al utilizar esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – (x\csc{(x)}) \sqrt{\cot^{2}{(x)}} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – (x\csc{(x)}) \cdot (\cot{(x)}) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Ahora obtenemos la derivada de \( y = x\csc{(x)} \) como en las dos demostraciones anteriores.

$$ y’ = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$


Cómo derivar x csc(x)

Antes de comenzar el procedimiento paso a paso, para resumir, la derivada de \( x\csc{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\csc{(x)} = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$

Derivada de x csc(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que serán multiplicadas. El primer multiplicando/término se denotará por u, y el segundo por v.

$$ u = x $$

$$ v = \csc{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula de la derivada para la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Usando la fórmula de la regla del producto, comienza a derivar \( x\csc(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \csc{(x)} + \csc{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Para las derivadas de u y v, utiliza las fórmulas de derivadas adecuadas. En este caso, utiliz la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada de la cosecante para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)}) + \csc{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y usa identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{dy}{dx} = -(x \cdot \csc{(x)}\cot{(x)}) + \csc{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = – x\csc{(x)}\cot{(x)} + \csc{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\csc{(x)} = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} $$


Gráfica de x csc (x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\csc{(x)}$$

el gráfico se representa como

gráfico-de-fx-xcscx

Y, como se discutió anteriormente, la derivada de \(f(x) = x\csc{(x)}\) es

$$ f'(x) = \csc{(x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)}$$

que se representa gráficamente como

Gráfica de la derivada de xcscx

Representando ambas gráficas en una, obtenemos

Gráfica de xcscx-y-su-derivada

Usando estos gráficos para comparar las diferencias entre estas funciones, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\csc{(x)}\) como su derivada \(f'(x) = \csc{ (x)} – x\csc{(x)}\cot{(x)} \) da como resultado el mismo dominio de

$$ (-3\pi,-2\pi) \cup (-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,\pi) \cup (\pi,2\pi) \cup (\pi,2\pi) \cup (2\pi,3\pi) $$

dentro de los intervalos finitos de

$$ (-3\pi , 3\pi) $$

los cuales también están dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo explica cómo usar la fórmula de la regla del producto para derivar una variable multiplicada por la cosecante de la misma variable.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\csc{(\beta)}\)

Solución: Aplicando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinar u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \csc{(\beta)} $$

Recuerda y use la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\csc{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \csc{(\beta)} + \csc{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Deriva u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot (-\csc{(\beta)}\cot{(\beta)}) + \csc{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplifica algebraicamente y usa identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = -\beta \csc{(\beta)}\cot{(\beta)} + \csc{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\cot{(\beta)} = \csc{(\beta)} – \beta \csc{(\beta)}\cot{(\beta)} $$


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