Derivada de x cot(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La función x multiplicada por la cotangente de x es un producto de la función monomial x y la función trigonométrica de la cotangente. La derivada de x multiplicada por la cotangente de x es igual a la cotangente de x restada por la cantidad de x multiplicada por la cosecante al cuadrado de x, cot(x) – xcsc²(x). Esta derivada se puede probar usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función cotangente trigonométrica o la función cotangente inversa.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica cotangente. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de cotangente y su derivada, pruebas, métodos para derivar y un ejemplo.

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-cotx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x cot(x).

Ver demostraciones

GEOMETRÍA
Derivado-de-x-cotx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x cot(x).

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Demostraciones de la derivada de x cot(x)

Las demostraciones de la derivada de \(x\cot{(x)}\) se enumeran a continuación. Estas demostraciones también se pueden utilizar como métodos para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x cot(x) usando la fórmula de la regla del producto

Puede revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del producto de las derivadas. También puedes encontrar la demostración de la derivada de la cotangente en este artículo: Derivada de la cotangente, cot(x).

Supongamos que se nos pide derivar la función

$$ f(x) = x\cot{(x)}$$

Podemos deducir que dos funciones se están multiplicando. Es un producto de un monomio y la cotangente trigonométrica del ángulo x en este caso. Con u como el primer multiplicando/término, tenemos

$$ u = x$$

y con v como el segundo multiplicando/término, tenemos

$$ v = \cot{(x)}$$

Ten en cuenta que la regla del producto para la derivada es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Cuando aplicamos esta fórmula a nuestra función dada, obtenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\cot{(x)}) + (\cot{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando, tenemos la derivada de u usando la regla de la potencia y la derivada de v usando la derivada de la cotangente.

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (-\csc^{2}{(x)}) + (\cot{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = -((x) \cdot (\csc^{2}{(x)})) + (\cot{(x)}) \cdot (1) $$

$$ \frac{d}{dx} uv = -x\csc^{2}{(x)} + \cot{(x)} $$

$$ \frac{d}{dx} uv = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Resultando de la fórmula derivada de \(x\cot{(x)}\)

$$ \frac{d}{dx} x\cot{(x)} = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Demostración de la derivada de x cot(x) usando la diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función trigonométrica cotangente

Teniendo la ecuacion

$$ y = x\cot{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \cot{(x)}$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, utilizaremos la regla del cociente, y en el lado derecho, usaremos la derivada de la cotangente.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \cot{(x)}$$

Ten en cuenta que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \cot{(x)} $$

Cuando aplicamos esto al lado derecho de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = -\csc^{2}{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 (-\csc^{2}{(x)}) $$

$$ x \frac{dy}{dx} = – x^2 \csc^{2}{(x)} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y – x^2 \csc^{2}{(x)}}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{x^2 \csc^{2}{(x)}}{x} $$

Recordamos que \( y = x\cot{(x)} \). Sustituyendo esto por y en nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x\cot{(x)}}{x} – \frac{x^2 \csc^{2}{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Esto también nos da la fórmula derivada para \( y = x\cot{(x)} \)

$$ y’ = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Demostración de la derivada de x cot(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función cotangente inversa

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\cot{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, obtenemos

$$ \frac{y}{x} = \cot{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función cotangente. Esto requerirá el uso de la función cotangente inversa.

$$ \cot^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

En términos de x, evaluamos la diferenciación implícita. En el lado izquierdo, usaremos la fórmula de la regla de la cadena, que incluye la regla del cociente y la derivada de la inversa de la cotangente, y en el lado derecho, usaremos una regla de potencia básica.

$$ \frac{d}{dx} \left( \cot^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( -\frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), obtenemos

$$ -\frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 } = 1 $$

$$ -\frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 $$

$$ -x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) $$

$$ -x \frac{dy}{dx} = x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right) + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right)}{x} + \frac{y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{x^2 \left( 1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \right)}{x} $$

Recordamos que \( y = x\cot{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, obtenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x\cot{(x)}}{x} – \frac{x^2 \left( 1 + \left( \frac{x\cot{(x)}}{x} \right)^2 \right)}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x \left( 1 + \left( \frac{x\cot{(x)}}{x} \right)^2 \right) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x \left( 1 + (\cot{(x)})^2 \right) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x \left( 1 + \cot^{2}{(x)}) \right) $$

Recordamos que aquí podemos usar una identidad trigonométrica empleando \( \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)} \), que se conoce como la fórmula de Pitágoras para cotangentes y cosecantes. Al utilizar esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x \left( \csc^{2}{(x)} \right) $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Ahora obtenemos la derivada de \( y = x\cot{(x)} \) como en las dos demostraciones anteriores.

$$ y’ = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$


Cómo derivar x cot(x)

Antes de comenzar el procedimiento paso a paso, para resumir, la derivada de \( x\cot{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\cot{(x)} = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$

Derivada de x cot(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que serán multiplicadas. El primer multiplicando/término se denotará por u, y el segundo por v.

$$ u = x $$

$$ v = \cot{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula para la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Usando la fórmula de la regla del producto, comienza a derivar \( x\cot(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \cot{(x)} + \cot{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Para las derivadas de u y v, utilice las fórmulas de derivadas adecuadas. En este caso, utilice la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada de la cotangente para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot (-\csc^{2}{(x)}) + \cot{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y usa identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{dy}{dx} = -(x \cdot \csc^{2}{(x)}) + \cot{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = – x \csc^{2}{(x)} + \cot{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\cot{(x)} = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)} $$


Gráfica de x cot (x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\cot{(x)}$$

el gráfico se representa como

gráfico-de-fx-xcotx

Y, como se discutió anteriormente, derivar \(f(x) = x\cot{(x)}\) es

$$ f'(x) = \cot{(x)} – x\csc^{2}{(x)}$$

que se representa gráficamente como

Gráfica de la derivada de xcotx

Representando ambas gráficas en una, obtenemos

Gráfica de xcotx-su-derivada

Usando estos gráficos para comparar las diferencias entre estas funciones, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\cot{(x)}\) como su derivada \(f'(x) = \cot{ (x)} – x\csc^{2}{(x)} \) da como resultado el mismo dominio de

$$ (-3\pi,-2\pi) \cup (-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,\pi) \cup (\pi,2\pi) \cup (\pi,2\pi) \cup (2\pi,3\pi) $$

dentro de los intervalos finitos de

$$ (-3\pi , 3\pi) $$

los cuales también están dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo explica cómo usar la fórmula de la regla del producto para derivar una variable multiplicada por la cotangente de la misma variable.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\cot{(\beta)}\)

Solución: Aplicando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinar u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \cot{(\beta)} $$

Recuerda y usa la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\cot{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \cot{(\beta)} + \cot{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Deriva u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot (-\csc^{2}{(\beta)}) + \cot{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplifica algebraicamente y usa identidades o leyes aplicables solo cuando sea necesario.

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = -\beta \csc^{2}{(\beta)} + \cot{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\cot{(\beta)} = \cot{(\beta)} – \beta \csc^{2}{(\beta)} $$


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