Derivada de x cos(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La x multiplicada por el coseno de la función x es el producto de la función monomial x y la función trigonométrica del coseno. La derivada de x multiplicada por el coseno de x es igual al coseno de x y luego restada a la cantidad de x multiplicada por el seno de x, cos(x) – xcos(x). Podemos probar esta derivada usando la regla del producto, la diferenciación implícita, la regla del cociente, la función trigonométrica del coseno o la función del coseno inverso.

En este artículo, discutiremos cómo derivar el producto de dos funciones, el monomio x y la función trigonométrica coseno. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de tangente y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

GEOMETRÍA
Derivada-de-x-cosx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x cos(x).

Ver demostraciones

GEOMETRÍA
Derivada-de-x-cosx

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de x cos(x).

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Demostraciones de la derivada de x cos(x)

A continuación se enumeran las demostraciones de la derivada de \(x\cos{(x)}\). Estas demostraciones también pueden servir como los métodos principales para derivar esta función.

Demostración de la derivada de x cos(x) usando la fórmula de la regla del producto

Puedes revisar la fórmula de la regla del producto consultando este artículo: Regla del producto de las derivadas. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada trigonométrica del coseno usando límites: Derivada del coseno, cos(x).

Tenemos la función:

$$ f(x) = x\cos{(x)}$$

Dos funciones se multiplican. En este caso, tenemos un producto de un monomio y un coseno trigonométrico de ángulo x. Al establecer el primer multiplicando/término como u, tenemos

$$ u = x$$

y estableciendo el segundo multiplicando/término como v, tenemos

$$ v = \cos{(x)}$$

Recuerda que la regla del producto es

$$ \frac{d}{dx} uv = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u$$

Es decir, la función u por v se obtiene multiplicando u por la derivada de v y luego sumando v multiplicada por la derivada de u. Aplicando esta fórmula a nuestra función dada, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \frac{d}{dx} (\cos{(x)}) + (\cos{(x)}) \frac{d}{dx} (x)$$

Evaluando la derivada de u usando la regla de la potencia y v usando la derivada del coseno, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = (x) \cdot (-\sin{(x)}) + (\cos{(x)}) \cdot (1)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} uv = -((x) \cdot \sin{(x)}) + (\cos{(x)}) \cdot (1)$$

$$ \frac{d}{dx} uv = -x\sin{(x)} + \cos{(x)} $$

$$ \frac{d}{dx} uv = \cos{(x)} – x\sin{(x)} $$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada \(x\cos{(x)}\).

$$ \frac{d}{dx} x\cos{(x)} = \cos{(x)} – x \sin{(x)}) $$

Demostración de la derivada de x cos(x) usando la diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función trigonmétrica del coseno

Se le recomienda aprender/repasar la regla del cociente, la derivada de la función trigonométrica coseno y la diferenciación implícita para esta demostración.

Tenemos la ecuación

$$ y = x\cos{(x)}$$

Multiplicando en cruz el primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \cos{(x)}$$

Evalúe la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la regla del cociente en el lado izquierdo y la derivada del coseno en el lado derecho.

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{d}{dx} \cos{(x)}$$

Recuerda que la fórmula de la regla del cociente es

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u \frac{d}{dx} v – v \frac{d}{dx} u}{v^2} $$

Aplicando esto a la derivada del lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \frac{d}{dx} \cos{(x)} $$

Derivando el lado derecho de la ecuación, tenemos

$$ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = -\sin{(x)} $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ x \frac{dy}{dx} – y = x^2 (-\sin{(x)}) $$

$$ x \frac{dy}{dx} – y = -x^2\sin{(x)} $$

$$ x \frac{dy}{dx} = y – x^2 \sin{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y – x^2 \sin{(x)}}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{x^2\sin{(x)}}{x} $$

Recordamos que \( y = x\cos{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x\cos{(x)})}{x} – \frac{x^2\sin{(x)}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x\sin{(x)} $$

Ahora tenemos la derivada de \( y = x\cos{(x)} \)

$$ y’ = \cos{(x)} – x \sin{(x)} $$

Demostración de la derivada de x cos(x) usando diferenciación implícita a través de la regla del cociente y la función del coseno inverso

Se le recomienda aprender/repasar la fórmula de la regla de la cadena, la regla del cociente, la derivada del coseno inverso y la diferenciación implícita para esta prueba.

Empezamos con la ecuación

$$ y = x\cos{(x)}$$

Cruzando el multiplicando del primer multiplicando del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, tenemos

$$ \frac{y}{x} = \cos{(x)}$$

Igualamos la ecuación en términos del ángulo x de la función coseno. Hacer esto implicará el proceso de la función coseno inversa.

$$ \cos^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} = x$$

Evaluamos la diferenciación implícita en términos de x. Usaremos la fórmula de la regla de la cadena en el lado izquierdo que involucra la regla del cociente y la derivada del coseno inverso; y luego en el lado derecho, una regla de poder simple.

$$ \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1}{\left( \frac{y}{x} \right)} \right) = x$$

$$ \left( -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}} \right) \cdot \left( \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} \right) = 1$$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ -\frac{ \frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} }{ \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} } = 1 $$

$$ -\frac{x \frac{dy}{dx} – y}{x^2} = \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} $$

$$ -x \frac{dy}{dx} – y = x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} $$

$$ -x \frac{dy}{dx} = x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} + y $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2} + y }{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}}{x} + \frac{y}{x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} – \frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}}{x} $$

Recordamos que \( y = x\cos{(x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x\cos{(x)}}{x} – \frac{ x^2 \sqrt{1-\left(\frac{x\cos{(x)}}{x}\right)^2}}{x} $$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x \sqrt{1-\left(\cos{(x)}\right)^2} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x \sqrt{1 – \cos^{2}{(x)} } $$

Recuerda que aquí podemos aplicar una identidad trigonométrica usando \( \sin^{2}{(x)} + \cos^{2}{(x)} = 1 \), también llamada fórmula de Pitágoras para senos y cosenos . Aplicando esta identidad, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x \sqrt{ \sin^{2}{(x)} } $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x \sin{(x)} $$

Al igual que las dos primeras demostraciones, ahora tenemos la derivada de \( y = x\cos{(x)} \)

$$ y’ = \cos{(x)} – x \sin{(x)} $$


Cómo derivar x cos(x)

Antes de comenzar con el proceso paso a paso y como resumen, la derivada de \( x\cos{(x)} \) es

$$ \frac{d}{dx} x\cos{(x)} = \cos{(x)} – x\sin{(x)} $$

Derivada de x cos(x) usando la regla del producto

Paso 1: Determina las dos funciones que se multiplican. Marca el primer multiplicando/término como u y el segundo como v.

$$ u = x $$

$$ v = \cos{(x)} $$

Paso 2: Recuerda la fórmula de la regla del producto.

$$ \frac{d}{dx} f(x) = u \frac{d}{dx} v + v \frac{d}{dx} u $$

Paso 3: Aplica la fórmula de la regla del producto para derivar \( x\cos(x) \).

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \cos{(x)} + \cos{(x)} \cdot \frac{d}{dx} x $$

Paso 4: Usa las fórmulas de derivadas apropiadas para u y v. En este caso, usa la regla de la potencia para la derivada de u y la derivada del coseno para la derivada de v.

$$ \frac{dy}{dx} = x \cdot (-\sin{(x)}) + \cos{(x)} \cdot (1) $$

Paso 5: Simplifica algebraicamente y aplica algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{dy}{dx} = – x \sin{(x)} + \cos{(x)} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \cos{(x)} – x \sin{(x)} $$

Paso 6: Finaliza la respuesta.

$$ \frac{d}{dx} x\cos{(x)} = \cos{(x)} – x \sin{(x)} $$


Gráfica de x cos (x) vs. su derivada

En el caso de esta función

$$ f(x) = x\cos{(x)} $$

el gráfico se ilustra como

gráfico-de-fx-xcosx

Y como aprendimos anteriormente, derivar \(f(x) = x\cos{(x)}\) será

$$ f'(x) = \cos{(x)} – x \sin{(x)}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de xcosx

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfico de xcosx-y-su-derivado

Al examinar las diferencias entre estas funciones usando estos gráficos, puedes ver que tanto la función original \(f(x) = x\cos{(x)}\) como su derivada \( f'(x) = \cos{ (x)} – x \sin{(x)} \) tienen un dominio similar de

\( (-\infty,\infty) \) o \( x | x \in \mathbb{R} \)

y ambos también se encuentran dentro del rango de

\( (-\infty,\infty) \) o \( y | y \in \mathbb{R} \)


Ejemplos

El siguiente ejemplo muestra cómo derivar una variable multiplicada por el coseno de la misma variable usando la fórmula de la regla del producto.

EJEMPLO 1

Derivar: \(f(\beta) = \beta\cos{(\beta)}\)

Solución: Usando la fórmula de la regla del producto, tenemos

Determinar u y v.

$$ u = \beta $$

$$ v = \cos{(\beta)} $$

Recuerda y aplica la fórmula de la regla del producto para derivar \(\beta\cos{(\beta)}\)

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = u \frac{d}{d\beta} v + v \frac{d}{d\beta} u $$

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \frac{d}{d\beta} \cos{(\beta)} + \cos{(\beta)} \frac{d}{d\beta} \beta $$

Deriva u y v en la fórmula de la regla del producto

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = \beta \cdot (-\sin{(\beta)}) + \cos{(\beta)} \cdot (1) $$

Simplifica algebraicamente y aplica algunas identidades o leyes solo si corresponde

$$ \frac{d}{d\beta} f(\beta) = – \beta \sin{(\beta)} + \cos{(\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \beta\sin{(\beta)} = \cos{(\beta)} – \beta \sin{(\beta)} + $$


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