Derivada de tan(2x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de una función tangente de ángulos dobles da como resultado una función compuesta. La derivada de la tangente de 2x es igual a dos veces la secante al cuadrado de 2x, 2sec2(2x). Podemos encontrar esta derivada usando la regla de la cadena y la derivada de la tangente.

En este artículo, veremos cómo encontrar la función compuesta tangente de ángulos dobles. Cubriremos algunos principios, definición, fórmula, comparación gráfica de tan(2x) derivada y derivada, prueba, procedimientos de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de tangente de 2x, tan(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la tangente de 2x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de tangente de 2x, tan(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la tangente de 2x.

Ver demostración

Demostración de la derivada de la tangente de ángulos dobles usando la regla de la cadena

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como base para derivar la tangente de un ángulo doble. La función trigonométrica tangente será la función exterior f(u) en la función compuesta tan(2x), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este artículo: Regla de la Cadena. Además, puedes visitar este artículo para la demostración de la derivada de la función tangente: Derivada de Tangente, tan(x).

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex F(x) = \tan{(2x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función trigonométrica tangente y un monomio en este escenario. Es evidente que la función tangente dada es la función exterior, mientras que el monomio 2x es la función interior. Podemos establecer la función externa como

$latex f(u) = \tan{(u)}$

en donde

$latex u = 2x$

Al establecer el monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = 2x$

$latex u = g(x)$

Derivando la función exterior f(u) usando la derivada de la tangente en términos de u, tenemos

$latex f(u) = \tan{(u)}$

$latex f'(u) = \sec^{2}{(u)}$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$latex g(x) = 2x$

$latex g'(x) = 2$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec^{2}{(u)}) \cdot (2)$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec^{2}{(u)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec^{2}{(2x)}) \cdot (2)$

En este caso, preferimos no aplicar la identidad trigonométrica de doble ángulo para la tangente, ya que simplificará menos la fórmula de la derivada. Por lo tanto, esto nos lleva a la fórmula de la derivada tan(2x)

$latex \frac{d}{dx} \tan{(2x)} = 2\sec^{2}{(2x)}$


¿Cómo derivar la tangente de un ángulo doble?

Como se mencionó anteriormente, la tangente de un ángulo doble es una función compuesta de la función trigonométrica tangente y el monomio 2x. Esta función es simple de derivar, y en lugar de utilizar el método de la regla de la cadena todo el tiempo, podemos usar la fórmula derivada comprobada para la tangente de un ángulo doble.

MÉTODO 1: Cuando se quiere derivar la tangente de un ángulo doble 2x en función de la misma variable x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan{(2x)} \right) = 2\sec^{2}{(2x)}$

Paso 1: Analiza si $latex \tan{(2x)}$ es una función de la misma variable $latex x$ o f(x). Si $latex \tan{(2x)}$ es una función de otras variables como f(t) o f(y), usará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada probada de la tangente de un ángulo doble.

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(2x)}$

Si ya no hay que simplificar nada, esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Cuando lo dado es una tangente de una función $latex v \times 2$ y debe derivarse en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \tan{(2v)} \right) = 2\sec^{2}{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \tan{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \tan{(2x)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \tan{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la tangente de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan{(2v)} \right) = 2\sec^{2}{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de tan(2x) vs. su derivada

Dada la función

$latex f(x) = \tan{(2x)}$

su gráfica es

Gráfica de tan2x

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \tan{(2x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = 2\sec^{2}{(2x)}$

que si se grafica, se muestra como

Gráfica de la derivada de tan2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de-tan2x y su derivada

Mirando las diferencias entre estas funciones basadas en esos gráficos, puedes ver que la función original $latex f(x) = \tan{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\sec^{2}{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex [2,\infty)$

Comparación gráfica entre tan(2x) y tan(x) así como sus derivadas

Los gráficos que se muestran a continuación ilustran la diferencia entre $latex \tan{(2x)}$ y $latex \tan{(x)}$

Gráfica de tan2x-vs-tanx

Y en términos de sus derivadas, tenemos

Gráfica de las derivadas de tan2x-vs-tanx

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo derivar una tangente de un ángulo doble usando el primer o el segundo método, el que sea más aplicable.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \tan{(2\beta)}$

Solución:

Paso 1: Analizando la tangente dada de un ángulo doble, se derivará en términos de $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la tangente de un ángulo doble en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = 2\sec^{2}{(2\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \tan{(2\ln{(x)})}$

Solución: Analizando la tangente dada de una función por dos, es una tangente de una función logarítmica multiplicada por dos. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \tan{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = \ln{(x)}$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \tan{(2v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x ps Para este problema tenemos

$latex g(v) = \tan{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v = \ln{(x)}$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la tangente de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \tan{(2v)} \right) = 2\sec^{2}{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función logarítmica, usaremos la derivada de funciones logarítmicas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} (\ln{(x)})$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{1}{x}$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(2v)} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(2v)} \cdot \frac{1}{x}$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(2(\ln{(x)}))} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta. La respuesta final es:

$latex G'(x) = \frac{2\sec^{2}{(2\ln{(x)})}}{x}$


Véase también

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