Derivada de sin(2x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de una función seno de ángulos dobles da como resultado una función compuesta. La derivada del seno de un ángulo doble es igual a 2cos(2x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y la derivada del seno.

En este artículo, veremos cómo encontrar la función compuesta seno de ángulos dobles. Cubriremos algunos principios, definición, fórmula, comparación gráfica de sen(2x) derivado y derivado, prueba, procedimientos de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de seno of 2x, sin(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del seno de ángulos dobles.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de seno of 2x, sin(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del seno de ángulos dobles.

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Demostración de la derivada del seno de ángulos dobles usando la regla de la cadena

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este artículo: Regla de la Cadena. Además, puedes visitar este artículo para ver la demostración de la derivada de la función seno: Derivada de arco sec (secante inversa).

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como base para derivar el seno de un ángulo doble. La función trigonométrica seno será la función exterior f(u) en la función compuesta sin(2x), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex F(x) = \sin{(2x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función trigonométrica seno y un monomio en este escenario. Es evidente que la función seno dada es la función exterior, mientras que el monomio 2x es la función interior. Podemos establecer la función externa como

$latex f(u) = \sin{(u)}$

en donde

$latex u = 2x$

Al establecer el monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = 2x$

$latex u = g(x)$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada del seno en términos de u, tenemos

$latex f(u) = \sin{(u)}$

$latex f'(u) = \cos{(u)}$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$latex g(x) = 2x$

$latex g'(x) = 2$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\cos{(u)}) \cdot (2)$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (\cos{(u)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\cos{(2x)}) \cdot (2)$

En este caso, preferimos no aplicar la identidad trigonométrica de doble ángulo para el seno, ya que simplificará menos la fórmula de la derivada. Por lo tanto, esto nos lleva a la fórmula de la derivada sin(2x)

$latex \frac{d}{dx} \cos{(2x)} = 2\cos{(2x)}$


¿Cómo derivar el seno de un ángulo doble?

Como se mencionó anteriormente, el seno de un ángulo doble es una función compuesta de la función trigonométrica seno y el monomio 2x. Esta función es simple de derivar, y en lugar de utilizar el método de la regla de la cadena todo el tiempo, podemos usar la fórmula derivada comprobada para el seno de un ángulo doble.

MÉTODO 1: Cuando el seno de un ángulo doble 2x se va a derivar en función de la misma variable x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin{(2x)} \right) = 2\cos{(2x)}$

Paso 1: Analiza si $latex \sin{(2x)}$ es una función de la misma variable $latex x$ o f(x). Si $latex \sin{(2x)}$ es una función de otras variables como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada probada del seno de un ángulo doble.

$latex \frac{dy}{dx} = 2\cos{(2x)}$

Si ya no hay que simplificar nada, esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Cuando lo dado es un seno de una función $latex v \times 2$ y debe derivarse en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin{(2v)} \right) = 2\cos{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sin{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \sin{(2x)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \sin{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada del seno de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin{(2v)} \right) = 2\cos{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\cos{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituye $latex v$ en $latex g'(v)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de sen(2x) vs. su derivada

Dada la función

$latex f(x) = \sin{(2x)}$

su gráfica es

Gráfica de sin2x

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sin{(2x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = 2\cos{(2x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de sin2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de-sin2x y su derivada

Mirando las diferencias entre estas funciones basadas en esos gráficos, puedes ver que la función original $latex f(x) = \sin{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\cos{(2x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-2,2]$

Comparación gráfica entre sin(2x) y sin(x) así como sus derivadas

Los gráficos que se muestran a continuación ilustran la diferencia entre $latex \sin{(2x)}$ y $latex \sin{(x)}$

Gráfica de sin2x-vs-sinx

y en términos de sus derivadas, tenemos

Gráfica de las derivadas de sinx-vs-sin2x

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo derivar un seno de un ángulo doble usando el primer o el segundo método, el que sea más aplicable.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \sin{(2\beta)}$

Solución:

Paso 1: Analizando el seno dado de un ángulo doble, se debe derivar en términos de $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada del seno de un ángulo doble en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = 2\cos{(2\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \sin{(2\ln{(x)})}$

Solución: Analizando el seno dado de una función por dos, es un seno de una función logarítmica multiplicado por dos. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sin{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = \ln{(x)}$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sin{(2v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \sin{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v = \ln{(x)}$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada del seno de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin{(2v)} \right) = 2\cos{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función logarítmica, usaremos la derivada de funciones logarítmicas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} (\ln{(x)})$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{1}{x}$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\cos{(2v)} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\cos{(2v)} \cdot \frac{1}{x}$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\cos{(2(\ln{(x)}))} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta. La respuesta final es:

$latex G'(x) = \frac{2\cos{(2\ln{(x)})}}{x}$


Véase también

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