Derivada de sec(2x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de una función secante de ángulos dobles da como resultado una función compuesta. La derivada de la secante de 2x es igual a dos secantes de 2x por la tangente de 2x, 2sec(2x)tan(2x). Podemos encontrar esta derivada usando la regla de la cadena y la derivada de la secante de x.

En este artículo, veremos cómo calcular la función compuesta secante de ángulos dobles. Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de sec(2x) derivado y no derivado, demostraciones, técnicas de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de secante de 2x, sec(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante de 2x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de secante de 2x, sec(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la secante de 2x.

Ver demostración

Demostración de la derivada de la secante de ángulos dobles usando la regla de la cadena

Debido a que la secante de un ángulo doble es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se utiliza como base para derivarla. En la función compuesta sec(2x), la función trigonométrica secante será la función exterior f(u), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada de la función secante: Derivada de Secante, sec(x).

Tenemos la función

$latex F(x) = \sec{(2x)}$

Podemos determinar las dos funciones que componen F(x). En este caso, hay una función trigonométrica secante y un monomio. La función anterior muestra que la función secante es claramente la función exterior, mientras que el monomio 2x es la función interior. Podemos escribir de la siguiente manera:

$latex f(u) = \sec{(u)}$

en donde

$latex u = 2x$

Al establecer al monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = 2x$

$latex u = g(x)$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada de la secante en términos de u, tenemos

$latex f(u) = \sec{(u)}$

$latex f'(u) = \sec{(u)}\tan{(u)}$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$latex g(x) = 2x$

$latex g'(x) = 2$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec{(u)}\tan{(u)}) \cdot (2)$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec{(u)}\tan{(u)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = (\sec{(2x)}\tan{(2x)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2) \cdot (\sec{(2x)}\tan{(2x)})$

En este escenario, elegimos no usar la identidad trigonométrica de doble ángulo para la secante, ya que complica la fórmula de la derivada. Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada sec(2x).

$latex \frac{d}{dx} \sec{(2x)} = 2\sec{(2x)}\tan{(2x)}$


¿Cómo derivar la secante de un ángulo doble?

Como se dijo anteriormente, la secante de un ángulo doble es una combinación de la función trigonométrica secante y el monomio 2x. Esta función es fácil de calcular y, en lugar de usar el método de la regla de la cadena todo el tiempo, podemos aplicar la fórmula de la derivada comprobada para la secante de un ángulo doble.

MÉTODO 1: Cuando la secante de un ángulo doble 2x se va a derivar en función de la misma variable x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec{(2x)} \right) = 2\sec{(2x)}\tan{(2x)}$

Paso 1: Analiza si $latex \sec{(2x)}$ es una función de la misma variable $latex x$ o f(x). Si $latex \sec{(2x)}$ es una función de otras variables como f(t) o f(y), usará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada probada de la secante de un ángulo doble.

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec{(2x)}\tan{(2x)}$

Si ya no hay que simplificar nada, esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Cuando tenemos una secante de una función $latex v \times 2$ y debe derivarse en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sec{(2v)} \right) = 2\sec{(2v)}\tan{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sec{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \sec{(2x)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \sec{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la secante de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec{(2v)} \right) = 2\sec{(2v)}\tan{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec{(2v)}\tan{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de sec(2x) vs. su derivado

Si tenemos la función

$latex f(x) = \sec{(2x)}$

su gráfica es

Gráfica de sec2x

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sec{(2x)}$, tenemos

$latex f'(x) = 2\sec{(2x)}\tan{(2x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de sec2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de sec2x y su derivada

Con base en las diferencias entre estos gráficos, puedes concluir que la función original $latex f(x) = \sec{(2x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = 2\sec{(2x)}\tan{(2x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

Comparación gráfica entre sec(2x) y sec(x) así como sus derivadas

Las gráficas a continuación demuestran la diferencia entre $latex \sec{(2x)}$ y $latex \sec{(x)}$.

Gráfica de sec2x-vs-secx

y sus derivadas

Gráfica de las derivadas de sec2x-vs-secx

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo calcular la secante de un ángulo doble utilizando el primer o el segundo método, según cuál sea el más apropiado.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \sec{(2\beta)}$

Solución:

Paso 1: Analizando la secante dada de un ángulo doble, se debe derivar en términos de $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula de la derivada de la secante de un ángulo doble en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = 2\sec{(2\beta)}\tan{(2\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \sec{(2e^x})$

Solución: Analizando la secante dada de una función por dos, es una secante de una función exponencial multiplicada por dos. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \sec{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = e^x$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sec{(2v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \sec{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v = e^x$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la secante de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sec{(2v)} \right) = 2\sec{(2v)}\tan{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función exponencial, usaremos la derivada de funciones exponenciales para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} (e^x)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = e^x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = (2\sec{(2v)}\tan{(2v)}) \cdot (e^x)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

$latex \frac{dy}{dx} = (2\sec{(2v)}\tan{(2v)}) \cdot (e^x)$

$$\frac{dy}{dx} = (2\sec{(2(e^x))}\tan{(2(e^x))}) \cdot (e^x)$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta. La respuesta final es:

$latex G'(x) = 2e^x\sec{(2e^x)}\tan{(2e^x)}$


Véase también

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