Derivada de ln(2x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

El logaritmo natural de 2x, también denotado como ln(2x), es el logaritmo de 2x en base e (número de Euler). La derivada del logaritmo natural de 2x es igual a uno sobre x, 1/x. Podemos encontrar esta derivada usando la regla de la cadena o con diferenciación implícita.

En este artículo, veremos cómo calcular la derivada de ln(2x). Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de ln(2x) y su derivada, demostración, técnicas de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada del logaritmo natural de 2x

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de 2x.

Ver demostración

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Derivada del logaritmo natural de 2x

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada del logaritmo natural de 2x.

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Demostración de la derivada del logarítmico natural de 2x

Quizás te preguntes por qué la derivada de \( \ln{(x)} \) y \( \ln{(2x)} \) son iguales. Para mostrar por qué, aquí hay algunas demostraciones de la derivada de \( \ln{(2x)} \).

Estas demostraciones también pueden servir como métodos principales para derivar 2x.

Demostración de la derivada de ln(2x) usando la fórmula de la regla de la cadena

Dado que esta es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se puede usar para probar la fórmula de la derivada para el logaritmo natural de 2x. En la función compuesta ln(2x), la función logarítmica natural será la función exterior f(u), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puedes consultar este artículo para ver la demostración de la derivada del logaritmo natural usando límites: Derivada de Logaritmo Natural (ln(x)).

Tenemos la función

$$ F(x) = \ln{(2x)}$$

Podemos determinar las dos funciones que componen a F(x). En este caso, hay una función logarítmica natural y un monomio. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

en donde

$$ u = 2x$$

Al establecer el monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$$ f(u) = f(g(x))$$

$$ g(x) = 2x$$

$$ u = g(x)$$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada del logaritmo natural en términos de u, tenemos

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

$$ f'(u) = \frac{1}{u}$$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$$ g(x) = 2x$$

$$ g'(x) = 2$$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{u} \right) \cdot (2)$$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{(2x)} \right) \cdot (2)$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x}$$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$$

Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada ln(2x).

$$ \frac{d}{dx} \ln{(2x)} = \frac{1}{x}$$

Demostración de la derivada de ln(2x) usando diferenciación implícita

En esta demostración, se recomienda aprender/repasar las derivadas de las funciones exponenciales y la diferenciación implícita.

Supongamos que tenemos la ecuación

$$ y = \ln{(2x)}$$

En forma logarítmica general, tenemos

$$ \log_{e}{2x} = y$$

Y en forma exponencial, tenemos

$$ e^y = 2x$$

Derivando implícitamente la forma exponencial en términos de x, tenemos

$$ e^y = 2x$$

$$ \frac{d}{dx} (e^y) = \frac{d}{dx} (2x) $$

$$ e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 2 $$

Aislando \( \frac{dy}{dx} \), tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{e^y} $$

Recordemos que al principio teníamos \( y = \ln{(2x)} \). Sustituyendo esto a la y de nuestra derivada, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{e^{(\ln{(2x)})}} $$

Simplificando y aplicando una propiedad del logaritmo, tenemos

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $$

Evaluando, ahora tenemos la derivada de \( y = \ln{(2x)} \)

$$ y’ = \frac{1}{x} $$


Otros métodos para derivar el logarítmico natural de 2x

Además de las dos demostraciones anteriores, que también sirven como métodos principales para derivar ln(2x), también se puede usar un método adicional para derivar esta misma función.

Derivada del logarítmico natural de 2x usando la derivada de la función logarítmica general

Paso 1: Expresa la función como \(f(x) = \log_{e}{2x}\) en lugar de \(\ln{(2x)}\).

Paso 2: Ten en cuenta que la fórmula de la derivada de una función logarítmica general es

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

donde b es cualquier número real positivo excepto 0 y 1, y u es cualquier función distinta de x que es el argumento de la función logarítmica.

Paso 3: Obtén la derivada de \(f(x) = \log_{e}{2x}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{u}) = \frac{1}{u\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

En este caso, nuestra u es 2x. Por eso,

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{1}{2x\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (2x)$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{1}{2x\ln{(e)}} \cdot (2)$$

Paso 4: Evalúe y simplifique algebraicamente.

Evaluando ln(e), esto es igual a uno. Entonces,

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{1}{2x \cdot (1)} \cdot (2)$$

Simplificando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{1}{2x} \cdot (2)$$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{2}{2x} $$

$$ \frac{d}{dx} (\log_{e}{2x}) = \frac{1}{x} $$

Paso 5: Respuesta final.

$$ \frac{d}{dx} (\ln{(2x)}) = \frac{1}{x}$$


Gráfica de ln(2x) vs. su derivada

Dada la función

$$ f(x) = \ln{(2x)}$$

la gráfica se ilustra como

Gráfica de ln2x

Y como ya sabemos, al derivar \(f(x) = \ln{(2x)}\), obtenemos

$$ f'(x) = \frac{1}{x}$$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de ln de 2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de ln2x y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original \(f(x) = \ln{(2x)}\) tiene un dominio de

\( (0,\infty) \) or \( x | x > 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty, \infty) \) o todos los números reales

mientras que la derivada \(f'(x) = \frac{1}{x}\) tiene un dominio de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) or \( x | x \neq 0 \)

y existe dentro del rango de

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) or \( y | y \neq 0 \)

\( (-\infty,0) \cup (0,\infty) \) or \( y | y \neq 0 \)


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de derivación de logaritmos naturales de una variable multiplicada por dos mediante el uso de la regla de la cadena o la derivada logarítmica general.

EJEMPLO 1

Derive: \(F(\beta) = \ln{(2\beta)}\)

Solución: Usando la regla de la cadena, tenemos

Paso 1: Analiza si el logaritmo natural de \(2\beta\) es una función de la misma variable \(\beta\). En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aislar las dos funciones compuestas en \( F(\beta) \). La función exterior es

$$ f(u) = \ln{(u)}$$

y la función interna es

$$ u = g(\beta) = 2\beta $$

Paso 3: Derive las funciones externa e interna por separado usando su fórmula de derivada base respectiva.

$$ f'(u) = \frac{d}{du} \ln{(u)} = \frac{1}{u} $$

$$ g'(\beta) = \frac{d}{d\beta} 2\beta = 2 $$

Paso 4: Multiplica la derivada de f(u) y g(β).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{u} \right) \cdot (2) $$

Paso 5: Sustituye u en la derivada de f(u).

$$ F'(\beta) = \left( \frac{1}{(2\beta)} \right) \cdot (2) $$

Paso 6: Simplifique y declare la respuesta final.

$$ F'(\beta) = \frac{2}{(2\beta)} $$

La respuesta final es:

$$ \frac{d}{d\beta} \ln{(2\beta)} = \frac{1}{(\beta)} $$

EJEMPLO 2

Derive: \(f(\lambda) = \ln{(2\lambda)}\)

Solución: Usando la fórmula de la derivada logarítmica general, tenemos

Paso 1: exprese la función como \(f(\lambda) = \log_{e}{2\lambda}\) en lugar de \(\ln{(2\lambda)}\)

Paso 2: Establecer el argumento logarítmico como u.

$$ u = 2\lambda $$

Paso 3: recordando la fórmula derivada de una función logarítmica general, tenemos

$$ \frac{d}{dx} (\log_{b}{u}) = \frac{1}{u\ln{(b)}} \cdot \frac{d}{dx} (u)$$

Paso 4: Deriva \(f(\lambda) = \log_{e}{2\lambda}\) aplicando la fórmula del paso 2.

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{2\lambda}) = \frac{1}{u\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{d\lambda} (u)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{2\lambda}) = \frac{1}{2\lambda\ln{(e)}} \cdot \frac{d}{dx} (2\lambda)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{2\lambda}) = \frac{1}{2\lambda \cdot (1)} \cdot (2)$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{2\lambda}) = \frac{2}{2\lambda}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\log_{e}{2\lambda}) = \frac{1}{\lambda}$$

$$ \frac{d}{d\lambda} (\ln{(2\lambda)}) = \frac{1}{\lambda}$$


Véase también

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