Derivada de la suma y resta de funciones – Fórmula y Ejemplos

La regla de la derivada de una suma o una resta de funciones indica que podemos encontrar la derivada al derivar a cada término de la suma separadamente. Entonces, simplemente aplicamos la regla de la potencia u otra regla aplicable para derivar cada término y encontrar la derivada de toda la función.

A continuación, aprenderemos cómo encontrar derivadas de una suma o una resta de funciones. Conoceremos la fórmula que podemos usar y la aplicaremos para resolver algunos ejercicios.

CÁLCULO
Regla de la derivada de suma y resta de funciones

Relevante para

Aprender a calcular la derivada de una suma o resta de funciones.

Ver regla

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Regla de la derivada de suma y resta de funciones

Relevante para

Aprender a calcular la derivada de una suma o resta de funciones.

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Definición y fórmula de la regla de la suma y resta de funciones en derivadas

La regla de las derivadas de una suma o resta de funciones nos dice que cuando $latex y$ está formada de más de una función, podemos encontrar su derivada al diferenciar a cada función una por una.

La regla de la suma y de la resta de funciones en derivadas nos permite encontrar la derivada de funciones como la siguiente:

$latex y=f(x)+g(x)$

Entonces, su derivada es igual a:

$$\frac{dy}{dx}=f'(x) \pm g'(x)$$

Esto aplica a la suma o diferencia de cualquier número de funciones.

Para derivar a cada una de las funciones o cada uno de los términos, usamos la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, o cualquier otra regla de derivadas aplicable.


Pasos para derivar una suma o resta de dos o más funciones

Supongamos que tenemos que derivar

$latex f(x) = x^2+5x$

Tenemos una función que es una suma de dos términos. Entonces, podemos derivarla siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Usar las leyes de los exponentes para transformar a radicales o expresiones racionales a la forma exponencial. En este caso, no tenemos radicales o expresiones racionales.

Nota: Un ejemplo sería escribir a $latex \sqrt{x}$ como $latex x^{\frac{1}{2}}$.

Paso 2: Aplica la fórmula de la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, u otras reglas aplicables a cada término de la suma o resta:

$$f'(x) = 2x+5$$

Paso 3: Simplifica la expresión resultante. En este caso, ya no podemos simplificar.

Nota: Un ejemplo sería escribir a $latex x^{-\frac{1}{2}}$ como $latex \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Puedes usar $latex f'(x), y’,$ o $latex \frac{d}{dx}(f(x))$ como símbolo de derivada en el lado izquierdo de la respuesta final.


Ejemplos de derivadas de una suma o resta de funciones

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada, en donde aplicamos la regla de la potencia.

EJEMPLO 1

Encuentra la derivada de $latex f(x)=x^3+2x$.

Paso 1: No tenemos radicales ni variables escritas en forma racional.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, para derivar ambos términos de la función:

$latex f(x)=x^3+2x$

$latex f'(x)=3x^2+2$

Paso 3: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la derivada de la función $latex f(x)=5x^4-5x^2$?

Paso 1: La función no tiene radicales o expresiones racionales.

Paso 2: Con la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, podemos derivar ambos términos de la función:

$latex f(x)=5x^4-5x^2$

$latex f'(x)=20x^3-10x$

Paso 3: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 3

Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=10x^7+5x^5+4x$.

Paso 1: No tenemos radicales ni expresiones racionales en la función.

Paso 2: Al aplicar la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, para derivar los tres términos de la función, tenemos:

$latex f(x)=10x^7+5x^5+4x$

$latex f'(x)=70x^6+25x^4+4$

Paso 3: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 4

Encuentra la derivada de la función: $latex f(x) = -5x^{-3}+5x^2$.

Paso 1: En este caso, tenemos exponentes negativos, pero no tenemos radicales ni variables escritas en forma racional.

Paso 2: Aplicamos la fórmula de la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, para derivar ambos términos de la función:

$latex f(x)=-5x^{-3}+5x^2$

$latex f'(x)=15x^{-4}+10x$

Paso 3: Podemos usar las leyes de los exponentes para escribir a la derivada de la siguiente forma:

$$f'(x)=\frac{15}{x^4}+10x$$

EJEMPLO 5

¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=2x^4+4x^2+\sqrt{x}$?

Paso 1: Tenemos una raíz cuadrada en la función. Usando las leyes de los exponentes, podemos escribir de la siguiente forma:

$$f(x)=2x^4+4x^2+x^{\frac{1}{2}}$$

Paso 2: Aplicando la fórmula de la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, para derivar a los tres términos de la función, tenemos:

$$f(x)=2x^4+4x^2+x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=8x^3+8x+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Paso 3: Usando las leyes de los exponentes nuevamente, podemos escribir de la siguiente manera:

$$f'(x)=8x^3+8x+\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

EJEMPLO 6

Encuentra la derivada de $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Paso 1: Usamos las leyes de los exponentes para escribir en forma exponencial:

$$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{2}{3}}$$

Paso 2: Usando la regla de la potencia, $latex \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, derivamos ambos términos de la función:

$$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{2}{3}}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-2x^{-\frac{5}{3}}$$

Paso 3: Usando las leyes de los exponentes nuevamente, podemos escribir de la siguiente manera:

$$f'(x)=-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}-\frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}$$

$$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}-\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$$

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Derivadas de suma y resta de funciones – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes problemas de práctica usando lo aprendido sobre las derivadas de suma y resta de funciones junto con la regla de la potencia.

Encuentra la derivada de $latex f(x)=3x^3+5x^2$.

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¿Cuál es la derivada de $latex f(x)=6x^4+5x^3+x$?

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=x+\frac{1}{x}$.

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Encuentra la derivada de la función $latex f(x)=2x^3+\sqrt{x}$.

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Encuentra la derivada de $latex f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^2}$.

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Véase también

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