Derivada de cot(2x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de una función cotangente de ángulos dobles da como resultado una función compuesta. La derivada de la cotangente de 2x es igual a menos dos cosecantes de 2x, -2csc(2x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y la derivada de la cotangente.

En este artículo, veremos cómo encontrar la función compuesta cotangente de ángulos dobles. Repasaremos algunos fundamentos, definiciones, fórmulas, comparaciones gráficas de cot(2x) y su derivada, demostraciones, técnicas de derivación y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de cotangente de 2x, cot(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente de 2x.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de cotangente de 2x, cot(2x)

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente de 2x.

Ver demostración

Demostración de la derivada de la cotangente de ángulos dobles usando la regla de la cadena

En la función compuesta cot(2x), la función trigonométrica cotangente será la función exterior f(u), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).

Debido a que la cotangente de un ángulo doble es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se utiliza como base para derivarla.

Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena consultando este artículo: Regla de la Cadena. También puede consultar este artículo para ver la prueba de la derivada de la función cotangente: Derivada de Cotangente, cot(x).

Tenemos la función

$latex F(x) = \cot{(2x)}$

Podemos determinar las dos funciones que componen a F(x). En este caso, hay una función trigonométrica cotangente y un monomio. La función anterior muestra que la función cotangente es claramente la función externa, mientras que el monomio 2x es la función interna. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = \cot{(u)}$

en donde

$latex u = 2x$

Al establecer el monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex g(x) = 2x$

$latex u = g(x)$

Derivando la función externa f(u) usando la derivada de la cotangente en términos de u, tenemos

$latex f(u) = \cot{(u)}$

$latex f'(u) = -\csc^{2}{(u)}$

Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos

$latex g(x) = 2x$

$latex g'(x) = 2$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(u)}) \cdot (2)$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(u)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = (-\csc^{2}{(2x)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = -(\csc^{2}{(2x)}) \cdot (2)$

$latex \frac{dy}{dx} = – (2) \cdot (\csc^{2}{(2x)})$

En este escenario, elegimos no usar la identidad trigonométrica de doble ángulo para la cotangente ya que complica la fórmula de la derivada. Como resultado, llegamos a la fórmula de la derivada cot(2x).

$latex \frac{d}{dx} \cot{(2x)} = -2\csc^{2}{(2x)}$


¿Cómo derivar la cotangente de un ángulo doble?

Como se dijo anteriormente, la cotangente de un ángulo doble es una combinación de la función trigonométrica cotangente y el monomio 2x. Esta función es fácil de calcular y, en lugar de usar el método de la regla de la cadena todo el tiempo, podemos aplicar la fórmula de la derivada comprobada para la cotangente de un ángulo doble.

MÉTODO 1: Cuando la cotangente de un ángulo doble 2x se va a derivar en función de la misma variable x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot{(2x)} \right) = -2\csc^{2}{(2x)}$

Paso 1: Analiza si $latex \cot{(2x)}$ es una función de la misma variable $latex x$ o f(x). Si $latex \cot{(2x)}$ es una función de otras variables como f(t) o f(y), usará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada probada de la cotangente de un ángulo doble.

$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(2x)}$

Si ya no hay que simplificar nada, esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Cuando lo dado es cotangente de una función $latex v \times 2$ y debe derivarse en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot{(2v)} \right) = -2\csc^{2}{(2v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \cot{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \cot{(2x)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex g(v) = \cot{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la cotangente de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot{(2v)} \right) = -2\csc^{2}{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x) = v$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex v$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = (-2\csc^{2}{(2v)}) \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de cot(2x) vs. su derivada

Si tenemos la función

$latex f(x) = \cot{(2x)}$

su gráfica es

Gráfica de cot2x

Y como ya sabemos, derivar $latex f(x) = \cot{(2x)}$ conducirá a

$latex f'(x) = -2\csc^{2}{(2x)}$

que si se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de cot2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de cot2x y su derivada

Con base en las diferencias entre estos gráficos, puedes concluir que la función original $latex f(x) = cot{(2x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\pi\right) \cup \left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{-\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) \cup \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\csc^{2}{(2x)}$ tiene un dominio de

$$\left(-\frac{3\pi}{2},-\pi\right) \cup \left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{-\pi}{2},0\right) \cup \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) \cup \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-2]$

Comparación gráfica entre cot(2x) y cot(x), así como sus derivadas

Los gráficos a continuación demuestran la diferencia entre $latex \cot{(2x)}$ y $latex \cot{(x)}$.

Gráfica de cot2x-vs-cotx

Y en términos de sus derivadas, tenemos

Gráfica de las derivadas de cot2x-vs-cotx

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo calcular la cotangente de un ángulo doble utilizando el primer o el segundo método, según cuál sea el más apropiado.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \cot{(2\beta)}$

Solución:

Paso 1: Analizando la cotangente dada de un ángulo doble, se debe derivar en términos de $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula de la derivada de la cotangente de un ángulo doble en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -2\csc^{2}{(2\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \cot{(2e^x})$

Solución: Analizando la cotangente dada de una función por dos, es una cotangente de una función exponencial multiplicada por dos. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \cot{(2v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex v = e^x$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \cot{(2v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \cot{(2v)}$

y también

$latex h(x) = v = e^x$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función exterior $latex g(v)$, que debe usar la derivada de la cotangente de un ángulo doble, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot{(2v)} \right) = -2\csc^{2}{(2v)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función exponencial, usaremos la derivada de funciones exponenciales para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} (e^x)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = e^x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = (-2\csc^{2}{(2v)}) \cdot (e^x)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

$latex \frac{dy}{dx} = (-2\csc^{2}{(2v)}) \cdot (e^x)$

$latex \frac{dy}{dx} = -(2\csc^{2}{(2(e^x))}) \cdot (e^x)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta. La respuesta final es:

$latex G'(x) = -2e^x\csc^{2}{(2e^x)}$


Véase también

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