La derivada de una función coseno de ángulos dobles da como resultado una función compuesta. La derivada del coseno de 2x es igual a menos dos seno de 2x, -2sin(2x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y la derivada del coseno.
En este artículo, veremos cómo encontrar la función compuesta coseno de ángulos dobles. Cubriremos una demostración y una comparación gráfica de cos(2x) y su derivada.
Demostración de la derivada del coseno de ángulos dobles usando la regla de la cadena
Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como base para derivar el coseno de un ángulo doble. La función trigonométrica coseno será la función exterior f(u) en la función compuesta cos(2x), mientras que el monomio 2x será la función interior g(x).
Puedes revisar la fórmula de la regla de la cadena visitando este artículo: Regla de la Cadena. Además, puedes visitar este artículo para ver la demostración de la derivada de la función coseno: Derivada de Coseno, cos(x).
Supongamos que nos piden obtener la derivada de
$latex F(x) = \cos{(2x)}$
Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función trigonométrica coseno y un monomio en este escenario. Es evidente que la función coseno dada es la función exterior, mientras que el monomio 2x es la función interior. Podemos establecer la función externa como
$latex f(u) = \cos{(u)}$
en donde
$latex u = 2x$
Al establecer el monomio 2x como la función interna de f(u) denotándolo como g(x), tenemos
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex g(x) = 2x$
$latex u = g(x)$
Derivando la función externa f(u) usando la derivada del coseno en términos de u, tenemos
$latex f(u) = \cos{(u)}$
$latex f'(u) = -\sin{(u)}$
Derivando la función interna g(x) usando la regla de potencia ya que es un monomio, tenemos
$latex g(x) = 2x$
$latex g'(x) = 2$
Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (-\sin{(u)}) \cdot (2)$
Sustituyendo u en f'(u), tenemos
$latex \frac{dy}{dx} = (-\sin{(u)}) \cdot (2)$
$latex \frac{dy}{dx} = – (\sin{(2x)} \cdot (2))$
$latex \frac{dy}{dx} = – ((2) \cdot \sin{(2x)})$
En este caso, preferimos no aplicar la identidad trigonométrica de doble ángulo para el coseno, ya que simplificará menos la fórmula de la derivada. Por lo tanto, esto nos lleva a la fórmula de la derivada cos(2x)
$latex \frac{d}{dx} \cos{(2x)} = -2\sin{(2x)}$
Gráfica de cos(2x) vs. su derivada
Dada la función
$latex f(x) = \cos{(2x)}$
su gráfica es
Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cos{(2x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -2\sin{(2x)}$
que si se grafica, se muestra como
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
Mirando las diferencias entre estas funciones basadas en esos gráficos, puedes ver que la función original $latex f(x) = \cos{(2x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-1,1]$
mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\sin{(2x)}$ tiene un dominio de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
y existe dentro del rango de
$latex [-2,2]$
Comparación gráfica entre cos(2x) y cos(x) así como sus derivadas
Los gráficos que se muestran a continuación ilustran la diferencia entre $latex \cos{(2x)}$ y $latex \cos{(x)}$
y en términos de sus derivadas, tenemos
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
