Demostraciones del Teorema del Factor

El teorema del factor se usa frecuentemente para factorizar un polinomio y localizar sus raíces. El teorema del residuo polinomial es un caso específico de esto. Este teorema es una de las formas de factorizar polinomios.

En este artículo, veremos cómo demostrar el teorema del factor. También veremos cómo demostrarlo usando el teorema del residuo. Finalmente, veremos ejemplos con respuestas.

ÁLGEBRA
el teorema del factor

Relevante para

Aprender a demostrar el teorema del factor.

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Demostración del teorema del factor

Usaremos esta sección para demostrar el teorema del factor, el cual nos permite factorizar el polinomio.

Considere un polinomio f(x) que es divido por (x-c). Esto significaría que f(c)=0, y podemos sumar f(c) sin cambiar el polinomio:

$latex f(x) = (x-c)q(x) + f(c)$

El polinomio principal es f(x), y el polinomio cociente es q(x).

Dado que f(c) = 0, tenemos,

$latex f(x)= (x-c)q(x)+ f(c)$

$latex f(x) = (x-c) q (x)+0$

$latex f(x) = (x-c) q (x)$

Esto significa que (x-c) es un factor del polinomio f(x).


Demostración del teorema del factor por el teorema del residuo

Considere un polinomio f(x), el cual es divido por (x-c). Esto significa que f(c)=0. Por lo tanto, tenemos:

$latex f(x)= (x-c) q (x)+ f(c)$

Si (x-c) es un factor de f(x), entonces el residuo debe ser cero dado que (x–c) divide exactamente a f(x).

Por lo tanto, debemos tener f(c)=0.

Las siguientes declaraciones son equivalentes para cualquier polinomio f(x):

  • El residuo es cero cuando el polinomio f(x) se divide exactamente por (x–c)
  • (x-c) es un factor de f(x)
  • c es una solución para f(x)
  • c es un cero de la función f(x), o f(c)=0

Cómo usar el teorema del factor

Los siguientes son los pasos que podemos usar para aplicar el teorema del factor e identificar los factores de un polinomio:

Paso 1: Si es que f(-c)=0, entonces, (x+ c) es un factor del polinomio f(x).

Paso 2: Si es que p(d/c)= 0, entonces, (cx-d) es un factor del polinomio f(x).

Paso 3: Si es que p(-d/c)= 0, entonces, (cx+d) es un factor del polinomio f(x).

Paso 4: Si es que p(c)=0 y p(d) =0, then (x – c) and (x -d) son factores del polinomio p(x).

En lugar de usar el método de división polinomial larga para identificar los factores, el teorema del factor y la división sintética son mejores opciones.

Al usar este teorema, podemos eliminar los ceros conocidos de los polinomios mientras mantenemos intactos todos los ceros desconocidos. Esto nos permite encontrar fácilmente los polinomios de menor grado.

El teorema del factor también se puede definir de otra manera. Por lo general, obtenemos un residuo cuando un polinomio se divide por un binomio. Cuando un polinomio se divide por uno de sus factores binomiales, el cociente obtenido se conoce como polinomio deprimido. El teorema del factor se demuestra de la siguiente manera si el residuo es cero:

El polinomio, digamos f(x), tiene un factor (x–c) si f(c)=0, donde f(x) es un polinomio de grado n, donde n es mayor o igual a 1 para cualquier número real c.


Teorema del factor – Ejemplos con respuestas

Podemos utilizar los pasos detallados anteriormente para aplicar el teorema del Factor y resolver los siguientes problemas.

EJEMPLO 1

Determina si es que x+2 es un factor de $latex F(x) = {x}^3 + 3 {x}^3 + 5x + 6$.

Solución:

Para empezar, probaremos si x+2 es un factor del polinomio, donde x=-2.

Podemos sustituir los valores de x en la función para verificar.

$latex F(x) = {x}^3 + 3 {x}^3 + 5x + 6$

$$F(-2) = {(-2)}^3 + 3 {(-2)}^3 + 5(-2) + 6$$

$latex F(-2) = (-8 )+ 12 – 10 + 6$

$latex F(-2) = 0$ 

De acuerdo con el teorema del factor, si es que F(c) = 0, entonces, (x – c) es un factor de F(x). 

Por lo tanto, (x + 2) es un factor de $latex {x}^3 + 3 {x}^3 + 5x + 6$ o F(x).

EJEMPLO 2

Determina si es que x-3 es un factor de $latex: f(x) = {x}^3 – 3{x}^2 -5x +5$.

Solución:

Vamos a verificar si es que x-3 es un factor del polinomio, en donde x = 3.

Vamos a sustituir los valores de x en la función para verificar.

$latex f(x) = {x}^3 – 3{x}^2 -5x +5$

$latex f(3) = {(3)}^3 – 3{(3)}^2 -5(3) +5$

$latex f(3) = 27 – 3{(9)} -15 +5$

$latex f(3) = -10 $

De acuerdo con el teorema del factor, si es que F(c) = 0, entonces, (x – c) es un factor de f(x).

Entonces, tenemos f(3)= -10.

Por lo tanto, (x-3) no es un factor de $latex {x}^3 – 3{x}^2 -5x +5$ o f(x).

EJEMPLO 3

Determina si es que 2x -1 es un factor de $latex f(x)=4{x}^2 + 2 x -2$.

Solución:

Vamos a verificar si es que 2x-1 es un factor del polinomio, en donde $latex x = \frac{1}{2}$.

Sustituyendo los valores de x en la función, tenemos:

$latex f(x)=4{x}^2 + 2 x -2 $

$latex f(\frac{1}{2})=4{(\frac{1}{2})}^2 + 2 (\frac{1}{2}) -2 $

$latex f(\frac{1}{2})= 1 + 1 -2 $

$latex f(\frac{1}{2}) = 0 $

De acuerdo con el teorema del factor, si es que f(c) = 0, entonces, (x – c) es un factor de f(x).

Por lo tanto, tenemos, $latex f(\frac{1}{2})= 10$ 

Esto significa que (2x-1) no es un factor de $latex 4{x}^2 + 2 x -2 $ o f(x).

EJEMPLO 4

Determina si es que 3x-3 es un factor de $latex f(x)=2{x}^2 + 2x – 4$

Solución:

Vamos a verificar si es que 3x-3 es un factor del polinomio usando x=1,

Sustituyendo el valor de x en la función, tenemos:

$latex f(x)=2{x}^2 + 2 x -4 $

$latex f(1)=2{(1)}^2 + 2 (1) -4 $

$latex f(1)= 2 + 2 -4 $

$latex: f(1) = 0 $

De acuerdo con el teorema del factor, si es que f(c) = 0, entonces, (x – c) es un factor de f(x).

Entonces, tenemos, f(1)= 0,

Por lo tanto, (3x – 3) es un factor de $latex 2{x}^2 + 2x – 4$ o f(x).

EJEMPLO 5

¿Es x+4 un factor de $latex p(x)= \frac{{x}^2}{3}+4x -\frac{7}{3}$?

Solución:

Vamos a verificar si x+4 es un factor del polinomio usando x =-4:

Tenemos que sustituir el valor de x en el polinomio para verificar. Entonces, tenemos:

$latex p(x)= \frac{{x}^2}{3} + 4x -\frac{1}{2}$

$latex p(-4)= \frac{{(-4)}^2}{3} + 4(-4) -\frac{7}{3}$

$latex p(-4)= \frac{16}{3} – 16 -\frac{7}{3} $

$latex: p(-4) = 3-16 $

$latex: p(-4) = -13 $

De acuerdo con el teorema del factor, si es que f(c) = 0, entonces, (x – c) es un factor de f(x).

Por lo tanto, tenemos p(-4)= -13.

Esto significa que (x+4) no es un factor de $latex \frac{{x}^2}{3} + 4x -\frac{7}{3}$ o p(x).


Véase también

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