La cotangente de un ángulo es la función recíproca de la tangente. Recordemos que la tangente es definida como el lado opuesto de un triángulo rectángulo sobre el lado adyacente. Además, una función recíproca es igual a 1 sobre la función original. Esto significa que la cotangente es igual al lado adyacente de un triángulo rectángulo dividido por el lado opuesto.
A continuación, revisaremos a la cotangente más detalladamente. Conoceremos los valores de la cotangente de los ángulos más comunes y resolveremos algunos ejercicios de práctica.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender sobre la cotangente de un ángulo con ejercicios.
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Aprender sobre la cotangente de un ángulo con ejercicios.
Definición de la cotangente de un ángulo
La cotangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es definida como la longitud del lado adyacente dividida por la longitud del lado opuesto.
También podemos definir a la cotangente como la función recíproca de la tangente. Una función recíproca es igual a 1 dividido por la función original. Esto significa que la cotangente es igual a 1 sobre la función tangente. Recordando que la tangente es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, tenemos:
$latex \cot (\theta)=\frac{1}{\tan}=\frac{A}{O}$
en donde, A es el lado adyacente al ángulo y O es el lado opuesto.
Fórmula de la cotangente en triángulos rectángulos
Podemos usar la definición de la cotangente y encontrar fórmulas para la cotangente de los ángulos del siguiente triángulo rectángulo ABC.
Comúnmente, usamos letras minúsculas para denotar a los lados del triángulo que son opuestos al ángulo correspondiente. Por ejemplo, el lado a es opuesto al ángulo A, el lado b es opuesto al ángulo B y el lado c es opuesto al ángulo C.
La cotangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado adyacente al ángulo dividido por el lado opuesto:
| $latex \cot=\frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}}$ |
Esto significa que en el triángulo de arriba, tenemos $latex \cot(A)=\frac{b}{a}$ y también $latex \cot(B)=\frac{a}{b}$.
Cotangentes para ángulos especiales comunes
Podemos determinar el valor de la cotangente para los ángulos más importantes usando las proporciones de los lados de triángulos especiales. Para encontrar la cosecante del ángulo 45°, usamos al triángulo 45°-45°-90°.
Este es un triángulo rectángulo, ya que tiene un ángulo de 90°, por lo que podemos usar el teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. Dos de los ángulos son iguales (45°), por lo que tenemos $latex a=b$. Entonces, el teorema de Pitágoras se vuelve $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$.
Esto significa que $latex c=a \sqrt{2}$. Esto significa que el seno y el coseno de 45° son iguales a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}$, lo cual es igual a $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$. Dado que la cotangente puede ser definida como el coseno dividido por el seno, la cotangente de 45° es igual a 1.
Podemos encontrar la cotangente de 30° y de 60° usando al triángulo especial 30°-60°-90°. Este triángulo tiene lados de proporción 1:$latex \sqrt{3}$:2. Podemos usar las definiciones de seno y coseno con estas proporciones y tenemos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ y también tenemos $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Grados | Radianes | Seno | Coseno | Cotangente |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 0 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \sqrt{3}$ |
| 0° | 0 | 0 | 1 | Indefinido |
Ejercicios de cotangente de un ángulo resueltos
Los siguientes ejercicios de cotangente de un ángulo son resueltos usando la fórmula vista arriba. Cada uno de los siguientes ejercicios hace referencia al triángulo rectángulo visto arriba, por lo que la notación de los lados es la misma.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos que $latex \cot(A)=1.6$ y $latex b=5$, ¿cuál es el valor de a?
Solución
Usamos al triángulo rectángulo de arriba como referencia y tenemos la relación $latex \cot(A)=\frac{a}{b}$. Entonces, reemplazamos a los valores dados en esta relación:
$latex \cot(A)=\frac{a}{b}$
$latex 1.6=\frac{a}{5}$
$latex a=5(1.6)$
$latex a=8$
El valor del lado a es igual a 8.
EJERCICIO 2
Determina el valor del lado b si es que tenemos $latex a=10$ y $latex \cot(B)=1.8$.
Solución
Referenciando al triángulo de arriba, tenemos la relación $latex \cot(B)=\frac{a}{b}$. Usamos esta fórmula con los valores dados y resolvemos para b:
$latex \cot(B)=\frac{a}{b}$
$latex 1.6=\frac{10}{b}$
$latex b=\frac{10}{1.6}$
$latex b=6.25$
El valor de b es 6.25.
EJERCICIO 3
Si es que tenemos $latex a=2$ y $latex b=2\sqrt{3}$, ¿cuál es el valor del ángulo A?
Solución
Al referenciar al triángulo de arriba, formamos la relación $latex \cot(A)=\frac{b}{a}$. Entonces, usando los valores dados, tenemos:
$latex \cot(A)=\frac{b}{a}$
$latex \cot(A)=\frac{2\sqrt{3}}{2}$
$latex \cot(A)=\sqrt{3}$
Encontramos al ángulo A al usar una calculadora con la función $latex {{sec}^{-1}}$ o podemos usar la tabla de arriba. Entonces, tenemos:
$latex A=30$°
El ángulo A mide 30°.
→ Calculadora de Cotangente (Grados y Radianes)
Ejercicios de cotangente de un ángulo para resolver
Resuelve los siguientes ejercicios usando lo aprendido sobre la cotangente de un ángulo. Estos ejercicios hacen referencia al triángulo rectángulo visto arriba, por lo que usan la misma notación para los lados y los ángulos.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre cosecantes, secantes y cotangentes? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
