¿Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto? – Paso a paso

Para resolver ecuaciones que usan la función valor absoluto, podemos empezar elevado al cuadrado a ambos lados de la ecuación. Esto asegurará que obtengamos un valor positivo en la expresión que tiene el valor absoluto. Luego, podemos resolver la ecuación normalmente al remover los símbolos de valor absoluto.

A continuación, aprenderemos cómo resolver ecuaciones con valor absoluto paso a paso. Además, veremos algunos ejercicios en los que aplicaremos este proceso.

ÁLGEBRA
Ecuaciones con valor absoluto

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones con valor absoluto.

Ver pasos

ÁLGEBRA
Ecuaciones con valor absoluto

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones con valor absoluto.

Ver pasos

Pasos para resolver ecuaciones con valor absoluto

La función valor absoluto $latex f(x)=|x|$, también denominada el módulo de x, puede ser definida como la magnitud de x. Por ejemplo:

$latex |-2|=2~~$ y $latex ~~|2|=2$

Para resolver ecuaciones con valor absoluto, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación.

Esto nos asegurará de que la expresión que tiene al valor absoluto resulte positiva, ya que la función valor absoluto es la magnitud.

Paso 2: Cambiar los signos de valor absoluto por paréntesis.

Paso 3: Expandir y simplificar los paréntesis y las expresiones elevadas al cuadrado.

Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática obtenida.

Nota: Si es que necesitas hacer una revisión sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas, puedes visitar nuestro artículo: Resolver Ecuaciones Cuadráticas – Métodos y Ejercicios.


Ecuaciones con valor absoluto – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando el proceso de resolución de ecuaciones con valor absoluto visto arriba. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJERCICIO 1

Resuelve la ecuación $latex |x-1|=4$.

Paso 1: Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:

$latex |x-1|^2=4^2$

Paso 2: Ahora, cambiamos los signos de valor absoluto por paréntesis:

$latex (x-1)^2=4^2$

Paso 3: Al simplificar, tenemos:

$latex (x-1)^2=4^2$

$latex x^2-2x+1=16$

$latex x^2-2x-15=0$

Paso 4: Podemos resolver la ecuación por factorización:

$latex x^2-2x-15=0$

$latex (x-5)(x+3)=0$

Las soluciones son $latex x=5$ y $latex x=-3$.

EJERCICIO 2

Encuentra las soluciones a la ecuación $latex |4-x|=2$.

Paso 1: Empezamos elevando al cuadrado a toda la ecuación:

$latex |4-x|^2=2^2$

Paso 2: Cambiando los signos de valor absoluto por paréntesis, tenemos:

$latex (4-x)^2=2^2$

Paso 3: Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:

$latex (4-x)^2=2^2$

$latex 16-8x+x^2=4$

$latex x^2-8x+12=0$

Paso 4: Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex x^2-8x+12=0$

$latex (x-6)(x-2)=0$

Las soluciones son $latex x=6$ y $latex x=2$.

EJERCICIO 3

Resuelve la ecuación $latex |3x+1|=4$.

Paso 1: Cuando elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:

$latex |3x+1|^2=4^2$

Paso 2: Usamos paréntesis en lugar de signos de valor absoluto:

$latex (3x+1)^2=4^2$

Paso 3: Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:

$latex (3x+1)^2=4^2$

$latex 9x^2+6x+1=16$

$latex 9x^2+6x-15=0$

Paso 4: Resolvemos por factorización:

$latex 9x^2+6x-15=0$

$latex (3x+5)(3x-3)=0$

Las soluciones son $latex x=-\frac{5}{3}$ y $latex x=1$.

EJERCICIO 4

¿Cuál es la solución a la ecuación $latex |5x-3|=7$?

Paso 1: Cuando elevamos al cuadrado a ambos lados, tenemos:

$latex |5x-3|^2=7^2$

Paso 2: Usamos paréntesis en vez de signos de valor absoluto:

$latex (5x-3)^2=7^2$

Paso 3: Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:

$latex (5x-3)^2=7^2$

$latex 25x^2-30x+9=49$

$latex 25x^2-30x-40=0$

Paso 4: Podemos resolver la ecuación por factorización:

$latex 25x^2-30x-40=0$

$latex (5x-10)(5x+4)=0$

Las soluciones son $latex x=2$ y $latex x=-\frac{4}{5}$.

EJERCICIO 5

Resuelve la ecuación $latex |x+1|=|x-3|$.

En este caso, tenemos una ecuación con valor absoluto en ambos lados del signo igual, pero podemos usar los mismos pasos.

Paso 1: Al elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:

$latex |x+1|^2=|x-3|^2$

Paso 2: Sustituyendo a los signos de valor absoluto por paréntesis, tenemos:

$latex (x+1)^2=(x-3)^2$

Paso 3: Expandiendo los paréntesis y simplificando, tenemos:

$latex (x+1)^2=(x-3)^2$

$latex x^2+2x+1=x^2-6x+9$

$latex 8x=8$

Paso 4: En este caso, tenemos una ecuación lineal, la cual podemos resolver fácilmente:

$latex 8x=8$

$latex x=1$

La ecuación tiene una sola solución, $latex x=1$.

EJERCICIO 6

Resuelve la ecuación $latex |x-4|=|6-x|$.

Paso 1: Cuando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:

$latex |x-4|^2=|6-x|^2$

Paso 2: Usamos paréntesis en vez de signos de valor absoluto:

$latex (x-4)^2=(6-x)^2$

Paso 3: Expandiendo los paréntesis y simplificando, tenemos:

$latex (x-4)^2=(6-x)^2$

$latex x^2-8x+16=36-12x+x^2$

$latex 4x=20$

Paso 4: Podemos resolver la ecuación lineal fácilmente:

$latex 4x=20$

$latex x=5$

La única solución es $latex x=5$.

Únete a nuestros cursos interactivos o practica con nuestros generadores de problemas


Ecuaciones con valor absoluto – Ejercicios para resolver

Encuentra la solución a los siguientes ejercicios para aplicar todo lo aprendido sobre las desigualdades cuadráticas.

Resuelve la ecuación $latex |x-2|=4$.

Escoge una respuesta






¿Cuál es la solución a la ecuación $latex |x+4|=5$?

Escoge una respuesta






Resuelve la desigualdad $latex |3-x|=6$.

Escoge una respuesta






Encuentra la solución a la ecuación $latex |3x+1|=|x+3|$.

Escoge una respuesta






Encuentra la solución a la ecuación $latex |2x-2|=|2-3x|$.

Escoge una respuesta







Véase también

¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones y desigualdades con valor absoluto? Puedes mirar estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más