Las ecuaciones con valor absoluto pueden ser resueltas al elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación. De esta forma, lograremos que la expresión con el signo de valor absoluto sea positiva. Luego, podemos expandir las expresiones y simplificar. Por último, la ecuación obtenida puede ser resuelta con cualquier método aplicable.
A continuación, veremos 10 ejercicios resueltos de ecuaciones con valor absoluto. Además, podrás poner a prueba tus habilidades con algunos ejercicios de práctica.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Resolver algunos ejercicios de ecuaciones con valor absoluto.
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Resolver algunos ejercicios de ecuaciones con valor absoluto.
¿Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto?
La función valor absoluto $latex f(x)=|x|$, también denominada el módulo de x, puede ser definida como la magnitud de x. Por ejemplo:
$latex |-2|=2~~$ y $latex ~~|2|=2$
Para resolver ecuaciones con valor absoluto, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación.
Esto nos asegurará de que la expresión que tiene al valor absoluto resulte positiva, ya que la función valor absoluto es la magnitud.
Paso 2: Cambiar los signos de valor absoluto por paréntesis.
Paso 3: Expandir y simplificar los paréntesis y las expresiones elevadas al cuadrado.
Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática obtenida.
Nota: Si es que necesitas hacer una revisión sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas, puedes visitar nuestro artículo: Resolver Ecuaciones Cuadráticas – Métodos y Ejercicios.
10 Ejercicios de ecuaciones con valor absoluto resueltos
Cada uno de los siguientes ejercicios tiene una solución detallada. Sin embargo, intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Resuelve la ecuación $latex |x-2|=4$.
Solución
Para asegurarnos de que el lado izquierdo de la ecuación sea positivo, podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación:
$latex |x-2|^2=4^2$
Ahora, podemos reemplazar a los signos de valor absoluto por paréntesis:
$latex (x-2)^2=4^2$
Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:
$latex (x-2)^2=4^2$
$latex x^2-4x+4=16$
$latex x^2-4x-12=0$
Podemos resolver la ecuación cuadrática por factorización:
$latex x^2-4x-12=0$
$latex (x-6)(x+2)=0$
Las soluciones son $latex x=6$ y $latex x=-2$.
EJERCICIO 2
Encuentra la solución a la ecuación $latex |x+4|=5$.
Solución
Vamos a elevar al cuadrado a ambos lados para asegurarnos de que el lado izquierdo es positivo:
$latex |x+4|^2=5^2$
Usando paréntesis en lugar de signos de valor absoluto, tenemos:
$latex (x+4)^2=5^2$
Ahora, simplificamos al expandir el paréntesis:
$latex (x+4)^2=5^2$
$latex x^2+8x+16=25$
$latex x^2+8x-9=0$
Resolviendo por factorización, tenemos:
$latex x^2+8x-9=0$
$latex (x+9)(x-1)=0$
Las soluciones son $latex x=-9$ y $latex x=1$.
EJERCICIO 3
Resuelve la ecuación $latex |3-x|=6$.
Solución
Elevando al cuadrado a ambos lados, tenemos:
$latex |3-x|^2=6^2$
$latex (3-x)^2=6^2$
Simplificando la ecuación, tenemos:
$latex (3-x)^2=6^2$
$latex 9-6x+x^2=36$
$latex x^2-6x-27=0$
Ahora, resolvemos la ecuación por factorización:
$latex x^2-6x-27=0$
$latex (x-9)(x+3)=0$
Las soluciones son $latex x=9$ y $latex x=-3$.
EJERCICIO 4
Encuentra la solución a la ecuación $latex |2x+1|=5$.
Solución
Al elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:
$latex |2x+1|^2=5^2$
$latex (2x+1)^2=5^2$
Expandiendo el paréntesis y simplificando la ecuación, tenemos:
$latex (2x+1)^2=5^2$
$latex 4x^2+4x+1=25$
$latex 4x^2+4x-24=0$
Resolviendo por factorización, tenemos:
$latex 4(x^2+x-6)=0$
$latex 4(x+3)(x-2)=0$
Las soluciones son $latex x=-3$ y $latex x=2$.
EJERCICIO 5
¿Cuál es la solución a la ecuación $latex |3x+2|=8$?
Solución
Cuando elevamos a ambos lados de la ecuación al cuadrado, tenemos:
$latex |3x+2|^2=8^2$
$latex (3x+2)^2=8^2$
Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:
$latex (3x+2)^2=8^2$
$latex 9x^2+12x+4=64$
$latex 9x^2+12x-60=0$
Al factorizar y resolver, tenemos:
$latex 9x^2+12x-60=0$
$latex (3x+10)(3x-6)=0$
Las soluciones son $latex x=-\frac{10}{3}$ y $latex x=2$.
EJERCICIO 6
Encuentra la solución a la ecuación $latex |5x-3|=7$.
Solución
Cuando elevamos al cuadrado a ambos lados, tenemos:
$latex |5x-3|^2=7^2$
$latex (5x-3)^2=7^2$
Al expandir el paréntesis de la izquierda y simplificar, tenemos:
$latex (5x-3)^2=7^2$
$latex 25x^2-30x+9=49$
$latex 25x^2-30x-40=0$
Factorizando y resolviendo, tenemos:
$latex 25x^2-30x-40=0$
$latex (5x-10)(5x+4)=0$
Las soluciones son $latex x=2$ y $latex x=-\frac{4}{5}$.
EJERCICIO 7
Encuentra la solución a la ecuación $latex |x+1|=|x-3|$.
Solución
Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:
$latex |x+1|^2=|x-3|^2$
$latex (x+1)^2=(x-3)^2$
Expandiendo ambos paréntesis y simplificando al combinar términos semejantes, tenemos:
$latex (x+1)^2=(x-3)^2$
$latex x^2+2x+1=x^2-6x+9$
$latex 8x=8$
En este caso, tenemos una ecuación lineal que puede ser resuelta fácilmente:
$latex 8x=8$
$latex x=1$
La única solución es $latex x=1$.
EJERCICIO 8
Encuentra la solución a la ecuación $latex |x-4|=|6-x|$.
Solución
Empezamos elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado:
$latex |x-4|^2=|6-x|^2$
$latex (x-4)^2=(6-x)^2$
Expandimos ambos paréntesis y simplificamos la ecuación:
$latex (x-4)^2=(6-x)^2$
$latex x^2-8x+16=36-12x+x^2$
$latex 4x=20$
Podemos resolver la ecuación lineal fácilmente:
$latex 4x=20$
$latex x=5$
La única solución es $latex x=5$.
EJERCICIO 9
Resuelve la ecuación $latex |2x-1|=|x|$.
Solución
Elevando al cuadrado a ambos lados, tenemos:
$latex |2x-1|^2=|x|^2$
$latex (2x-1)^2=(x)^2$
Expandimos los paréntesis y simplificamos de la siguiente forma:
$latex (2x-1)^2=x^2$
$latex 4x^2-4x+1=x^2$
$latex 3x^2-4x+1=0$
Resolviendo por factorización, tenemos:
$latex 3x^2-4x+1=0$
$latex (3x-1)(x-1)=0$
Las soluciones son $latex x=\frac{1}{3}$ y $latex x=1$.
EJERCICIO 10
Resuelve la ecuación $latex |2x-1|=|4x+3|$.
Solución
Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, tenemos:
$latex |2x-1|^2=|4x+3|^2$
$latex (2x-1)^2=(4x+3)^2$
Expandiendo los paréntesis y simplificando, tenemos:
$latex (2x-1)^2=(4x+3)^2$
$latex 4x^2-4x+1=16x^2+24x+9$
$latex 12x^2+28x+8=0$
Resolviendo por factorización, tenemos:
$latex 4(3x^2+7x+2)=0$
$latex (3x+1)(x+2)=0$
Las soluciones son $latex x=-\frac{1}{3}$ y $latex x=-2$.
5 Ejercicios de ecuaciones con valor absoluto para resolver
Pon a prueba tu conocimiento sobre las ecuaciones con valor absoluto para resolver los siguientes ejercicios. Puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ecuaciones y desigualdades con valor absoluto? Puedes mirar estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
