¿Cómo encontrar la segunda derivada de una función? – Paso a paso

La segunda derivada de una función puede ser encontrada al derivar a su primera derivada. Esto significa que, la segunda derivada es calculada al derivar a la función dos veces. La segunda derivada tiene aplicaciones importantes, entre ellas, encontrar puntos de inflexión de la función.

A continuación, aprenderemos cómo encontrar la segunda derivada de función. Conoceremos el proceso que podemos usar y lo aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Segunda derivada de una función

Relevante para

Aprender a encontrar la segunda derivada de una función.

Ver proceso

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Segunda derivada de una función

Relevante para

Aprender a encontrar la segunda derivada de una función.

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Proceso para encontrar la segunda derivada de una función

La derivada de $latex \frac{dy}{dx}$, es decir, $latex \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$, es denotada por $latex \frac{d^2y}{dx^2}$ y es llamada la segunda derivada de y con respecto a x.

De igual forma, la derivada de $latex f'(x)$ es denotada por $latex f^{\prime \prime}(x)$ y es llamada la segunda derivada de $latex f(x)$ con respecto a x.

Para encontrar la segunda derivada de una función, tenemos que diferenciar a la función dos veces. Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la segunda derivada de la siguiente función:

$$f(x) = 2x+\frac{1}{x}$$

para esto, seguimos los siguientes pasos:


Paso 1: Cuando tenemos radicales o expresiones racionales, las escribimos en forma exponencial al usar las leyes de los exponentes. En este caso, tenemos:

$latex f(x)= 2x+x^{-1}$

Paso 2: Encontramos la primera derivada de la función usando la regla de la potencia u otras reglas aplicables. En este caso, usamos la regla de la potencia en ambos términos de la función:

$latex f(x)= 2x+x^{-1}$

$latex f'(x)= 2-x^{-2}$

Paso 3: Ahora, diferenciamos a $latex f'(x)$ usando cualquier regla aplicable. En este caso, usamos la regla de la potencia nuevamente:

$latex f'(x)= 2-x^{-2}$

$latex f^{\prime \prime}(x)= 2x^{-3}$

Paso 4: Simplifica la expresión resultante. En este caso, usamos las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente forma:

$$f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{x^3}$$


Ejemplos de la segunda derivada de una función

El proceso visto arriba es usado para encontrar la segunda derivada en los siguientes ejemplos. Cada ejemplo tiene su respectiva solución detallada.

EJEMPLO 1

Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=x^3$.

Paso 1: En este caso, solo tenemos un exponente numérico, por lo que no tenemos que simplificar.

Paso 2: Encontramos la primera derivada usando la regla de la potencia:

$latex f(x)=x^3$

$latex f'(x)=3x^2$

Paso 3: Usamos la regla de la potencia nuevamente para derivar $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=3x^2$

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$

Paso 4: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 2

Encuentra la segunda derivada de la función $latex f(x)=5x^4-3x^2+5x$.

Paso 1: No tenemos que simplificar, ya que solo tenemos exponentes numéricos.

Paso 2: Encontramos la primera derivada de la función de la siguiente manera:

$latex f(x)=5x^4-3x^2+5x$

$latex f'(x)=20x^3-6x+5$

Paso 3: Encontramos la segunda derivada al derivar a $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=20x^3-6x+5$

$latex f^{\prime \prime}(x)=60x^2-6$

Paso 4: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 3

Determina la segunda derivada de la función $latex f(x)=10x^7+\frac{2}{x}$.

Paso 1: En este caso, podemos usar las leyes de los exponentes para escribir de la siguiente manera:

$$f(x)=10x^7+\frac{2}{x}$$

$latex f(x)=10x^7+2x^{-1}$

Paso 2: Ahora, podemos usar la regla de la potencia para derivar:

$latex f(x)=10x^7+2x^{-1}$

$latex f'(x)=70x^6-2x^{-2}$

Paso 3: Usamos la regla de la potencia nuevamente para derivar $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=70x^6-2x^{-2}$

$latex f^{\prime \prime}(x)=420x^5+4x^{-3}$

Paso 4: Podemos simplificar al usar las leyes de los exponentes y escribir de la siguiente forma:

$latex f^{\prime \prime}(x)=420x^5+4x^{-3}$

$$f^{\prime \prime}(x)=420x^5+\frac{4}{x^3}$$

EJEMPLO 4

Deriva la función hasta encontrar su segunda derivada: $latex f(x) = -2x^{-5}+\sqrt{x}$.

Paso 1: Simplificamos la función al escribir a la raíz cuadrada como un exponente numérico:

$$f(x) = -2x^{-5}+\sqrt{x}$$

$$f(x)=-2x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

Paso 2: Encontramos la primera derivada de la siguiente forma:

$$f(x)=-2x^{-5}+x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=10x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

Paso 3: Derivamos a $latex f'(x)$ para encontrar la segunda derivada:

$$f'(x)=10x^{-6}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-60x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

Paso 4: Usamos las leyes de los exponentes para simplificar de la siguiente forma:

$$f^{\prime \prime}(x)=-60x^{-7}-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{60}{x^7}-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}$$

EJEMPLO 5

Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$.

Paso 1: No tenemos nada para simplificar, ya que solo tenemos funciones trigonométricas simples.

Paso 2: Podemos usar las reglas de derivadas funciones trigonométricas para derivar:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Paso 3: Usamos las reglas de derivadas de funciones trigonométricas nuevamente para derivar $latex f'(x)$:

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

$latex f^{\prime \prime}(x)=-\sin(x)+\cos(x)$

Paso 4: La expresión ya está simplificada.

EJEMPLO 6

Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^{-3}+5$.

Paso 1: Empezamos escribiendo de la siguiente manera:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^{-3}+5$$

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

Paso 2: Usando la regla de la potencia, derivamos de la siguiente forma:

$latex f(x)=x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-3}+5$

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

Paso 3: Usamos la regla de la potencia nuevamente para derivar $latex f'(x)$:

$$f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}-9x^{-4}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

Paso 4: Podemos simplificar al usar las leyes de los exponentes y escribir de la siguiente forma:

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}+36x^{-5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4x^{\frac{5}{2}}}+\frac{36}{x^5}$$

$$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{3}{4\sqrt{x^5}}+\frac{36}{x^5}$$

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Segunda derivada de una función – Ejercicios para resolver

Usa el proceso visto arriba para encontrar la segunda derivada de las funciones y resolver los siguientes ejercicios de práctica.

Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=3x^3+5x$.

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¿Cuál es la segunda derivada de $latex f(x)=x^2-4x^6$?

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Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=\frac{2}{x^2}-x$.

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Encuentra la segunda derivada de la función $latex f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$.

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Encuentra la segunda derivada de $latex f(x)=\sqrt[3]{x}-x^3$.

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Véase también

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