Cómo calcular integrales definidas – Paso a paso

Una integral definida es la integral de una función que es evaluada con límites específicos. Podemos resolver este tipo de integrales al empezar encontrando la integral indefinida. Luego, evaluamos el límite superior de la integral y restamos la integral evaluada con el límite inferior.

A continuación, aprenderemos sobre el proceso que podemos usar para encontrar la integral definida de una función. Luego, usaremos ese proceso para resolver algunos ejercicios.

CÁLCULO
Fórmula de integrales definidas

Relevante para

Aprender a calcular integrales definidas.

Ver proceso

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Fórmula de integrales definidas

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Proceso usado para encontrar la integral definida de una función

Supongamos que tenemos la integral $latex F=\int f(x) dx$. Cuando resolvemos esta integral, no obtenemos un valor específico, sino que obtenemos una función de x.

Si es que queremos obtener un valor específico para $latex F$, tenemos que evaluarla en intervalos específicos. Entonces, tenemos:

$$ F= (\text{Área hasta }x=b)-(\text{Área hasta }x=a)$$

$latex =F(b)-F(a)$

Diagrama para la integral definida o area bajo la curva

Esto se escribe como

$$F= \int_{a}^{b} f(x)dx$$

$latex F= \int_{a}^{b} f(x)dx$ es una integral definida, ya que nos da una respuesta definitiva.

  • $latex dx$ indica que la función debe integrarse con respecto a x.
  • La constante $latex a$ es el límite inferior de la integral.
  • La constante $latex b$ es el límite superior de la integral.

Entonces, si es que queremos resolver la integral $latex \int_{0}^{1} 2xdx$, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Encontrar la integral de la función y usar corchetes para encerrar a la expresión integrada y para expresar los límites de integración. En este caso, tenemos:

$latex \int_{0}^{1} 2xdx=[x^2+c]_{0}^{1}$

Paso 2: Evaluar a la función en sus límites superior e inferior. La función en el límite superior es restada de la función en el límite inferior. Entonces, tenemos:

$latex [x^2+c]_{0}^{1}=[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$

Paso 3: Simplificar hasta obtener un único valor numérico:

$latex =[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$

$latex =[1+c]-[0+c]$

$latex =1$

Observamos que las constantes de integración fueron canceladas. Por esta razón, es normal excluir las constantes de integración cuando estamos trabajando con integrales definidas.


Ejemplos resueltos de integrales definidas

Usamos el proceso visto arriba para resolver los siguientes ejemplos de integrales definidas. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejemplos tú mismo.

EJEMPLO 1

Evalúa la integral definida $latex \int_{0}^{2} 4x^3dx$.

Paso 1: Encontramos la integral de la expresión y usamos corchetes para expresar los límites de integración. Entonces, tenemos:

$latex \int_{0}^{2} 4x^3dx=[x^4+c]_{0}^{2}$

Paso 2: Evaluando a la expresión obtenida usando los límites superior e inferior, tenemos:

$latex [x^4+c]_{0}^{2}=[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$

Paso 3: Simplificando esto, tenemos:

$latex =[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$

$latex =[16+c]-[0+c]$

$latex =16$

EJEMPLO 2

¿Cuál es el resultado de la integral $latex \int_{0}^{3} 2x^3 dx$?

Paso 1: Integramos la expresión y usamos corchetes para expresar los límites de integración. Como sabemos que la constante de integración va a ser eliminada, podemos omitirla.

$$\int_{0}^{1} 2x^3 dx=\left[\frac{x^4}{2} \right]_{0}^{3}$$

Paso 2: Ahora, evaluamos a la expresión obtenida tanto en su límite superior, como en su límite inferior:

$$\left[\frac{x^4}{2} \right]_{0}^{3}=\left[\frac{(3)^4}{2} \right]-\left[\frac{(0)^4}{2} \right]$$

Paso 3: Simplificar esto, tenemos:

$$=\left[\frac{(3)^4}{2} \right]-\left[\frac{(0)^4}{2} \right]$$

$$=\frac{81}{2}$$

EJEMPLO 3

Resuelve la integral definida $latex \int_{-1}^{1} (3x^2-5)dx$.

Paso 1: Integramos la expresión dada y usamos corchetes para expresar los límites de integración. Nuevamente, ignoramos la constante de integración:

$$\int_{0}^{1} (3x^2-5) dx=[x^3-5x]_{-1}^{1}$$

Paso 2: Cuando evaluamos a la expresión en los límites superior e inferior, tenemos:

$$[x^3-5x]_{-1}^{1}=[(1)^3-5(1)]-[(-1)^3-5(-1)]$$

Paso 3: Al simplificar, obtenemos:

$latex =[(1)^3-5(1)]-[(-1)^3-5(-1)]$

$latex =-4-4$

$latex =-8$

EJEMPLO 4

Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x^2}dx$.

Paso 1: Cuando integramos la expresión y la expresamos usando corchetes junto con los límites, tenemos:

$$\int_{-3}^{-2} \frac{1}{x^2} dx=\int_{-3}^{-2} x^{-2} dx$$

$$=[-x^{-1}]_{-3}^{-2}$$

Paso 2: Al evaluar a la expresión en los límites dados, tenemos::

$$[-x^{-1}]_{-3}^{-2}=[-(-2)^{-1}]-[-(-3)^{-1}]$$

Paso 3: Simplificando esto, tenemos:

$latex =[-(-2)^{-1}]-[-(-3)^{-1}]$

$latex =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$latex =\frac{1}{6}$

EJEMPLO 5

Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{2}^{8} \left( x-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$.

Paso 1: Al integrar la expresión y mantener los límites de integración, tenemos:

$$\int_{2}^{8} \left( x-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_{2}^{8} \left( x-3^{-\frac{1}{2}}\right)dx$$

$$=\left[ \frac{x^2}{2} -6x^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{8}$$

Paso 2: Cuando evaluamos a la expresión en los límites superior e inferior, tenemos:

$$\left[ \frac{x^2}{2} -6x^{\frac{1}{2}} \right]_{2}^{8}=[32-6\sqrt{8}]-[2-6\sqrt{2}]$$

Paso 3: Simplificando, tenemos:

$latex =[32-6\sqrt{8}]-[2-6\sqrt{2}]$

$$=[32-12\sqrt{2}]-[2-6\sqrt{2}]$$

$latex =30-6\sqrt{2}$

EJEMPLO 6

¿Cuál es el resultado de $latex \int_{-3}^{3} (x-2)^2dx$?

Paso 1: En este caso, tenemos que empezar extendiendo la expresión dada. Luego, encontramos su integral y mantenemos los límites de integración:

$$\int_{-3}^{3} (x-2)^2dx=\int_{-3}^{3} x^2-4x+4dx$$

$$=\left[ \frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_{-3}^{3}$$

Paso 2: Cuando evaluamos a la expresión en sus límites inferior y superior, tenemos:

$$\left[ \frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_{-3}^{3}=\left[ \frac{(3)^3}{3}-2(3)^2+4(3)\right]-\left[ \frac{(-3)^3}{3}-2(-3)^2+4(-3)\right]$$

Paso 3: Simplificar hasta obtener un único valor numérico:

$$=\left[ \frac{(3)^3}{3}-2(3)^2+4(3)\right]-\left[ \frac{(-3)^3}{3}-2(-3)^2+4(-3)\right]$$

$$=[ 9-18+12]-[ -9-18-12]$$

$latex =42$


Integrales definidas – Ejercicios para resolver

Aplica todo lo aprendido sobre integrales definidas para resolver los siguientes ejercicios de práctica.

¿Cuál es el resultado de $latex \int_{0}^{2} x^2dx$?

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Encuentra el resultado de la integral definida $latex \int_{0}^{3} 4x^3dx$.

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Encuentra el resultado de $latex \int_{4}^{5} (4x+3)dx$.

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¿Cuál es el resultado de $latex \int_{2}^{3} (4-3x^2)dx$?

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Véase también

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