Cómo calcular integrales de polinomios – Paso a paso

La integración de funciones es el proceso inverso de la diferenciación. Dependiendo del tipo de función que tengamos, podemos usar procesos diferentes para encontrar su integral. En el caso de polinomios, podemos integrar cada término al sumar 1 a su exponente y dividir al término por el nuevo exponente. Además, añadimos la constante de integración.

A continuación, conoceremos el proceso que podemos usar para obtener las integrales de funciones polinómicas. Luego, aplicaremos este proceso para resolver algunos ejercicios de práctica.

CÁLCULO
Fórmula de la integral de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar la integral de funciones polinómicas.

Ver proceso

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Fórmula de la integral de un polinomio

Relevante para

Aprender a encontrar la integral de funciones polinómicas.

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Proceso usado para encontrar la integral de una función polinómica

Para encontrar la integral de una función polinómica, usamos un proceso inverso al usado para diferenciar a un polinomio.

Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la integral de $latex \int x^4 dx$. Para esto, observamos que la derivada de $latex x^5$ es igual a $latex 5x^4$ y tendríamos la misma potencia de x.

Sin embargo, en este caso no necesitamos la constante 5, por lo que multiplicamos a $latex x^5$ por $latex \frac{1}{5}$. Entonces, tenemos

La derivada de $latex \frac{1}{5} x^5$ es $latex x^4$

Por lo tanto,

$$\int x^4 dx =\frac{1}{5}x^5+c$$

En general, tenemos la siguiente fórmula:

$$\int ax^n dx =\frac{ax^{n+1}}{n+1}+c$$

en donde, $latex n \neq -1$.

Podemos usar los siguientes pasos para encontrar la integral de cualquier polinomio:

Paso 1: Sumar 1 a los exponentes de cada término del polinomio.

Nota: Los términos constantes son equivalentes a tener la variable $latex x^0$, por lo que al sumar 1, tenemos $latex x^1=x$.

Paso 2: Multiplicar a cada término por el recíproco del nuevo exponente.

Nota: El recíproco de un número es igual a 1 sobre un número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es $latex \frac{1}{5}$.

Paso 3: Simplifica la integral resultante y sumar el término constante $latex c$.


¿Qué indica la constante de integración?

La constante de integración indica que la función obtenida al integrar, podría tener un término constante. Recordemos que cuando calculamos la derivada de un término constante, esto es igual a cero.

Dado que la integración es la operación inversa de la diferenciación, es posible que no tomemos en cuenta un término constante de la integral.

Por ejemplo, sabemos que si es que tenemos $latex y=x^2$, entonces, tenemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$. Pero esta derivada también aplica para $latex y=x^2+1$ y $latex y=x^2+2$.

Es decir, no sabemos si es que la función original contenía un término constante o no. Por esta razón, escribimos $latex y=x^2+c$, en donde, $latex c$ es la constante de integración.

El valor específico de la constante de integración puede ser encontrado si es que conocemos información adicional de la integral. Por ejemplo, en algunos casos, conocer las coordenadas de un punto en la integral puede ser suficiente.


Ejemplos resueltos de integrales de polinomios

Cada uno de los siguientes ejemplos tiene su respectiva solución detallada en donde usamos el proceso visto arriba para encontrar la integral de un polinomio.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la integral de la función polinómica $latex f(x)=x+2$?

Para resolver este ejercicio, tenemos que empezar formando la integral. Entonces, tenemos:

$latex \int x+2 dx$

Ahora, aplicamos los siguientes pasos:

  1. Sumamos 1 al exponente de cada término (el 2 es equivalente a $latex 2x^0$)
  2. Multiplicamos al término por el recíproco del nuevo exponente.

Entonces, añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int x+2 dx=\frac{1}{2}x^2+2x+c$$

EJEMPLO 2

Encuentra la integral de $latex f(x)= 3x^2 -2x$.

Tenemos que empezar formando la integral con la función dada:

$latex \int 3x^2-2x dx$

Similar al ejemplo anterior, aplicamos los siguientes pasos:

  1. Sumamos 1 al exponente de cada término.
  2. Dividimos a cada término por el nuevo exponente.

Entonces, tenemos:

$$\int 3x^2-2x dx=\frac{1}{3}3x^3-\frac{1}{2}2x^2$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 3x^2-2x dx=x^3-x^2+c$$

EJEMPLO 3

¿Cuál es la integral de la función $latex f(x)=x^3+3x^2$?

Formamos la integral con la función dada:

$latex \int x^3+3x^2 dx$

Encontramos la integral del polinomio aplicando los siguientes pasos:

  1. Sumamos 1 al exponente de cada término.
  2. Dividimos a cada término por el nuevo exponente.

Con esto, tenemos:

$$\int x^3+3x^2 dx=\frac{1}{3}x^3+\frac{2x}{3}+c$$

EJEMPLO 4

Si es que tenemos la función $latex f(x)=2x^4-3x^2-2x$, ¿cuál es su integral?

Al formar una integral con la función polinómica dada, tenemos:

$latex \int 2x^4-3x^2-2x dx$

Ahora, encontramos la integral usando los siguientes pasos:

  1. Cada exponente de x es incrementado por 1.
  2. Cada término es dividido por el nuevo exponente de x.

Al aplicar esto, tenemos:

$$\int 2x^4-3x^2-2x dx=\frac{1}{5}2x^5-\frac{1}{3}3x^3-\frac{1}{2}x^2$$

Simplificando y añadiendo la constante de integración, tenemos:

$$\int 2x^4-3x^2-2x dx=\frac{2x^5}{5}-x^3-\frac{x^2}{2}+c$$

EJEMPLO 5

Encuentra la integral de $latex f(x)=2x^3+(x-4)^2$.

En este caso, podemos empezar extendiendo y simplificando la función polinómica para luego formar la integral:

$latex f(x)=2x^3+(x-4)^2$

$latex f(x)=2x^3+x^2-8x+16$

$latex \int 2x^3+x^2-8x+16 dx$

Encontramos la integral usando los siguientes pasos:

  1. Cada exponente de x es sumado por 1.
  2. Dividimos a cada término por el nuevo exponente de x.

Entonces, tenemos:

$$\int 2x^3+x^2-8x+16 dx=\frac{1}{4}2x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}8x^2+16x$$

Simplificando y sumando la constante de integración, tenemos:

$$\int 2x^3+x^2-8x+16 dx=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-4x^2+16x+c$$

EJEMPLO 6

La pendiente de una curva en el punto $latex (x,~y)$ es $latex 4x^3-2$ y la curva pasa a través del punto $latex (-1, ~2)$. Encuentra la ecuación de la curva.

El problema nos dice que la pendiente de la curva es representada por la función $latex f(x)=4x^3-2$. Recordemos que la pendiente es equivalente a la derivada de la función.

Entonces, tenemos que encontrar la integral de $latex f(x)=4x^3-2$, la cual representa la ecuación de la curva. Entonces, formando la integral, tenemos:

$latex \int 4x^3-2 dx$

Sumando 1 a las variables x de cada término, dividiendo por el nuevo exponente y sumando la constante de integración, tenemos:

$$\int 4x^3-2 dx=\frac{1}{4}4x^4-2x+c$$

$$\int 4x^3-2 dx=x^4-2x+c$$

Ahora, podemos usar el punto $latex (-1, ~2)$ para encontrar el valor de la constante. Entonces, tenemos:

$latex y=x^4-2x+c$

$latex 2=(-1)^4-2(-1)+c$

$latex 2=1+2+c$

$latex c=-1$

Entonces, la ecuación de la curva es $latex y=x^4-2x-1$.


Integrales de polinomios – Ejercicios para resolver

Usa todo lo aprendido sobre la integral de un polinomio para resolver los siguientes ejercicios de práctica.

Encuentra la integral de $latex f(x)= x^4$.

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¿Cuál es la integral de la función $latex f(x)=12x^5$?

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¿Cuál es la integral de la función $latex f(x)=x^3+4x^2-2$?

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Encuentra la integral de $latex f(x)=3+\frac{x^3}{2}-2x^4$.

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Véase también

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