El circuncentro de un triángulo es el punto en donde las tres mediatrices del triángulo se intersecan. El circuncentro también puede ser definido como el centro del círculo circunscrito que pasa por los tres vértices del triángulo. La ubicación del circuncentro varía dependiendo del tipo de triángulo que tengamos.

A continuación, aprenderemos más detalles sobre el circuncentro de un triángulo usando diagramas. Conoceremos su fórmula y aprenderemos a graficarlo.

GEOMETRÍA
circuncentro de un triángulo

Relevante para

Aprender sobre el circuncentro de un triángulo.

Ver definición

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circuncentro de un triángulo

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Definición del circuncentro de un triángulo

El circuncentro es el punto en donde las mediatrices de los tres lados del triángulo se intersecan.

Recordemos que las mediatrices son los segmentos perpendiculares que pasan por el punto medio de otro segmento. En este caso, las mediatrices de un triángulo pasan a través de los puntos medios de los tres lados.

circuncentro de un triángulo

Alternativamente, el circuncentro de un triángulo puede ser definido como el centro del círculo circunscrito. A su vez, un círculo circunscrito es un círculo que pasa a través de todos los vértices de un polígono.

circuncentro de un triángulo con círculo circunscrito

La ubicación del circuncentro varía dependiendo del tipo de triángulo. Por ejemplo, para triángulos equiláteros, el circuncentro se encuentra en la misma posición que el centroide. Sin embargo, para triángulos obtusos, el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.

Circuncentro de un triángulo agudo

Todos los triángulos agudos tienen al circuncentro ubicado dentro del triángulo. Recordemos que en un triángulo agudo, todos sus ángulos internos miden menos de 90°.

circuncentro de un triángulo agudo

Circuncentro de un triángulo obtuso

Todos los triángulos obtusos tienen al circuncentro ubicado fuera del triángulo. Recordemos que en un triángulo obtuso, un ángulo interno es mayor de 90°.

circuncentro de un triángulo obtuso

Circuncentro de un triángulo rectángulo

Todos los triángulos rectángulos tienen al circuncentro ubicado en la hipotenusa del triángulo. Recordemos que un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo de 90°.

circuncentro de un triángulo rectángulo

Circuncentro de un triángulo equilátero

Para todos los triángulos equiláteros, el circuncentro, el ortocentro, el centroide y el incentro se ubican en la misma posición. Recordemos que estos triángulos tienen todos sus lados con la misma longitud.

ortocentro de un triángulo equilátero

Fórmulas del circuncentro de un triángulo

El circuncentro de un triángulo puede ser encontrado usando cuatro fórmulas principales. Con estas fórmulas, podremos ubicar las coordenadas (x, y) del circuncentro de un triángulo que tiene los vértices A=(x_{1},~y_{1}), B=(x_{2},~y_{2}) y C=(x_{3},~y_{3}).

ortocentro del triángulo con coordenadas de vértices

Fórmula 1: Fórmula de la distancia

Recordemos que la fórmula de la distancia es d=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}. Entonces, encontramos d_{1}, ~d_{2} y d_{3}:

d_{1}=\sqrt{(x-x_{1})^2+(y-y_{1})^2}

d_{2}=\sqrt{(x-x_{2})^2+(y-y_{2})^2}

d_{3}=\sqrt{(x-x_{3})^2+(y-y_{3})^2}

en donde, d_{1} es la distancia desde el circuncentro hasta el vértice A, d_{2} es la distancia desde el circuncentro hasta el vértice B y d_{3} es la distancia desde el circuncentro hasta el vértice C.

Con esto, obtendremos tres ecuaciones en términos de las coordenadas del circuncentro (x, y). Podemos usar dos de estas ecuaciones y resolverlas usando cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones. La solución al sistema son las coordenadas del circuncentro.

Fórmula 2: Fórmula del punto medio

Recordemos que la fórmula del punto medio es M(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right). Entonces, usamos esta fórmula para calcular los puntos medios de los tres lados del triángulo AB, BC, AC.

Luego, usamos la fórmula de la pendiente para calcular las pendientes de AB, BC y AC:

m_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}

m_{2}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}

m_{3}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}

en donde, m_{1} es la pendiente de AB, m_{2} es pendiente de BC y m_{3} es la pendiente de AC.

Usando las coordenadas del punto medio y la pendiente de cada lado del triángulo, podemos obtener una ecuación para su mediatriz.

(y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1})

Usando las ecuaciones de las mediatrices de dos lados del triángulo, podemos formar un sistema de ecuaciones y resolver con cualquier método. La solución al sistema de ecuaciones será el punto de intersección de las mediatrices, es decir, las coordenadas del circuncentro.

Fórmula 3: Ley de senos extendida

La ley de senos extendida es escrita de la siguiente manera:

\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}=2R

en donde, a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo y R es el radio del círculo circunscrito.

Usando esta fórmula, podemos obtener la longitud del radio del círculo. Luego, podemos usar la fórmula de la distancia y junto con las coordenadas de los vértices, obtendremos dos ecuaciones.

Las ecuaciones son resueltas usando cualquier método de sistemas de ecuaciones y obtendremos las coordenadas del circuncentro.

Fórmula 4: Fórmula del circuncentro

Si es que conocemos las coordenadas de los tres vértices y las medidas de los tres ángulos, podemos usar la fórmula del circuncentro para encontrar las coordenadas del circuncentro rápidamente:

O(x, y)=(\frac{x_{1}\sin(2A)+x_{2}\sin(2B)+x_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}, \frac{y_{1}\sin(2A)+y_{2}\sin(2B)+y_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)})

en donde, A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2}), C(x_{3}, y_{3}) son los vértices del triángulo y A, B, C son los ángulos correspondientes.


Encontrar el circuncentro de un triángulo gráficamente

El circuncentro de un triángulo puede ser encontrado gráficamente al trazar las mediatrices y encontrar el punto de intersección. Esto es extremadamente útil cuando queremos encontrar el circuncentro, pero no tenemos las coordenadas de los vértices del triángulo.

Tenemos que determinar dos mediatrices para encontrar el punto de intersección. Entonces, seguimos los siguientes pasos usando un compás:

Paso 1: Usamos el vértice B como centro y usamos un radio con una longitud un poco mayor que la mitad de AB. Por ejemplo, si AB mide 4 unidades, podemos usar un radio de 2.5. Con ese radio, trazamos un arco en el lado AB.

Paso 2: Usamos el vértice C con el mismo radio del paso 1 y trazamos un arco en el lado AB.

Paso 3: Obtuvimos dos puntos de intersección, D y E. Trazamos una línea que pase a través de esos puntos.

Paso 4: Trazamos arcos intersecantes desde C y A usando un radio que sea un poco mayor que la mitad de CA para formar los puntos F y G y trazamos una línea que pase por esos puntos.

Paso 5: Encontramos el punto de intersección de las líneas trazadas.

Las líneas trazadas son perpendiculares a sus lados correspondientes. Además, las líneas pasan por el punto medio de los lados. Esto significa que son dos mediatrices del triángulo. Por lo tanto, el punto de intersección es el circuncentro del triángulo.

encontrar el circuncentro graficamente

Ejemplos resueltos del circuncentro de un triángulo

En los siguientes ejemplos, usamos los diferentes métodos para encontrar las coordenadas del circuncentro de un triángulo.

EJEMPLO 1

Determina el circuncentro del siguiente triángulo usando la fórmula del punto medio.

circuncentro de un triángulo ejercicio 1

Solución: Tenemos que usar la fórmula del punto medio para encontrar las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo y luego encontrar a la línea pendiente que pasa por esos puntos. Usamos los siguientes vértices:

  • (x_{1},~y_{1})=(2, ~4)
  • (x_{2},~y_{2})=(1,~1)
  • (x_{3},~y_{3})=(5,~1)

Punto medio de AB:

M_{1}=(\frac{2+1}{2}, \frac{4+1}{2})

M_{1}=(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})

Punto medio de AC:

M_{3}=(\frac{2+5}{2}, \frac{4+1}{2})

M_{3}=(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})

Ahora, encontramos las pendientes de AB y AC.

Pendiente de AB:

m_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}

m_{AB}=\frac{4-1}{2-1}

m_{AB}=3

Pendiente de AC:

m_{BC}=\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}

m_{BC}=\frac{1-4}{5-2}

m_{BC}=-1

Ahora, encontramos las ecuaciones de las líneas perpendiculares que pasan por los puntos medios encontrados.

(y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1}) (1)

(y-\frac{5}{2})=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2}) (1)

6y-15=-2x+3

6y+2x=18

3y+x=9

(y-y_{1})=-\frac{1}{m}(x-x_{1}) (2)

(y-\frac{5}{2})=-\frac{1}{-1}(x-\frac{7}{2}) (2)

2y-5=2x-7

2y-2x=-2

y-x=-1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos x=3, y=2, las cuales son las coordenadas del circuncentro.

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EJEMPLO 2

Encuentra el área del círculo circunscrito que pasa por los tres vértices del siguiente triángulo.

circuncentro de un triángulo ejercicio 2

Solución: Podemos usar la ley de senos extendida para encontrar el radio del círculo circunscrito:

\frac{a}{\sin (A)}=\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}=2R

\frac{20}{\sin (30)}=2R

R=20 cm

Usando ese radio, podemos encontrar el área del círculo fácilmente:

A=\pi r^2

A=\pi (20)^2

A=400\pi cm²

EJEMPLO 3

Usa la fórmula del circuncentro para determinar las coordenadas del circuncentro del siguiente triángulo rectángulo isósceles.

circuncentro de un triángulo ejercicio 3

Solución: Dado que el triángulo es rectángulo isósceles, sabemos que tiene un ángulo de 90° en A y dos ángulos de 45° en B y C. Además, sabemos que el seno de 90° es igual a 1 y el seno de 180° es igual a 0. Entonces, tenemos:

O(x, y)=(\frac{x_{1}\sin(2A)+x_{2}\sin(2B)+x_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)}, \frac{y_{1}\sin(2A)+y_{2}\sin(2B)+y_{3}\sin(2C)}{\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)})

O(x, y)=(\frac{(0+0+4 \times 1}{0+1+1},~\frac{0+4\times 1+0}{0+1+1})

O(x, y)=(\frac{4}{2},~\frac{4}{2})

O(x, y)=(2,~2)


Véase también

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