El centroide de un triángulo es un punto que representa la intersección de las tres medianas del triángulo. Por su parte, las medianas son los segmentos que conectan a los vértices con los puntos medios del lado opuesto.
En este artículo, aprenderemos sobre el centroide de un triángulo detalladamente. Conoceremos cómo determinar su posición y resolveremos algunos ejemplos de práctica.
Definición del centroide de un triángulo
El centroide de un triángulo es el punto en donde las tres medianas del triángulo se intersecan. A su vez, recordemos que las medianas del triángulo son los segmentos que conectan a un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Cada una de las medianas divide al triángulo en dos triángulos más pequeños iguales.
El siguiente es un diagrama del centroide en un triángulo:
El centroide siempre se ubica dentro del triángulo sin importar el tipo de triángulo que tengamos. Sin embargo, para triángulos equiláteros, el centroide, el ortocentro, el incentro y el circuncentro se ubican en la misma posición.
Propiedades del centroide de un triángulo
Las siguientes son algunas de las propiedades y características importantes del centroide de un triángulo:
- El centroide de un triángulo es el punto de intersección de las medianas del triángulo.
- El centroide representa al centro geométrico del triángulo.
- El centroide de un triángulo siempre se ubica dentro del triángulo.
- El centroide de un triángulo equilátero se ubica en la misma posición que su incentro, ortocentro y circuncentro.
- El centroide divide a las medianas en una proporción de 2:1.
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Fórmula del centroide de un triángulo
La fórmula del centroide nos permite encontrar las coordenadas del centroide de un triángulo. Para ilustrar esta fórmula vamos a usar el siguiente triángulo.
Solo podemos obtener las coordenadas del centroide si es que conocemos las coordenadas de los tres vértices del triángulo. La fórmula del centroide es:
$latex C(x, y)=\left( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
en donde, ($latex x_{1},~y_{1}$), ($latex x_{2},~y_{2}$), ($latex x_{3},~y_{3}$) son los vértices y C(x, y) es el centroide.
Básicamente, tenemos que sumar las tres coordenadas x de los vértices y dividirlas para 3 para obtener la coordenada en x del centroide. Realizamos lo mismo con las coordenadas y.
Encontrar el centroide de un triángulo gráficamente
Si es que no conocemos las coordenadas de los vértices del triángulo, podemos encontrar al centroide gráficamente. El centroide puede ser encontrado fácilmente al trazar dos de las medianas del triángulo.
Entonces, usando una regla, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Ubicamos al punto medio en el lado AB. Medimos el lado y señalamos la mitad para formar el punto D.
Paso 2: Trazamos un segmento desde el vértice C hasta el punto D.
Paso 3: Ubicamos al punto medio en el lado AC y formamos el punto E
Paso 4: Trazamos un segmento desde el vértice B hasta el punto E.
Paso 5: Encontramos el punto de intersección de los segmentos CD y BE.
Los segmentos CD y BE conectan a los puntos medios con sus vértices opuestos. Esto significa que son dos medianas del triángulo. Por lo tanto, el punto de intersección es el centroide del triángulo.
Ejemplos resueltos del centroide de un triángulo
Los siguientes ejemplos aplican lo aprendido sobre el centroide de un triángulo.
EJEMPLO 1
Determina las coordenadas del centroide de un triángulo que tiene los vértices A(3, 6), B(1, 1) y C(5, 2).
Solución: Tenemos las siguientes coordenadas:
- $latex (x_{1},~y_{1})=(3, ~6)$
- $latex (x_{2},~y_{2})=(1,~1)$
- $latex (x_{3},~y_{3})=(5,~2)$
Entonces, usando la fórmula del centroide, tenemos:
$latex C(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{3+1+5}{3},~\frac{6+1+2}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{9}{3},~\frac{9}{3}\right)$
$latex C(x, y)=(3,~3)$
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EJEMPLO 2
Encuentra el centroide de un triángulo que tiene los vértices A(5, 7), B(2, 3) y C(6, 4).
Solución: Usamos la fórmula del centroide con las siguientes coordenadas:
- $latex (x_{1},~y_{1})=(5, ~7)$
- $latex (x_{2},~y_{2})=(2,~3)$
- $latex (x_{3},~y_{3})=(6,~4)$
Entonces, tenemos:
$latex C(x, y)=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},~\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{5+2+6}{3},~\frac{7+3+4}{3}\right)$
$latex C(x, y)=\left(\frac{13}{3},~\frac{14}{3}\right)$
Véase también
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