El volumen de una pirámide cuadrada es obtenido al multiplicar al área de la base de la pirámide por su altura y dividir al producto por tres. Por otro lado, el área superficial de una pirámide cuadrada es definida como la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide.
A continuación, conoceremos las fórmulas que podemos usar para calcular el volumen y el área superficial de pirámides cuadradas. Luego, usaremos estas fórmulas para resolver algunos ejercicios de práctica.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y área de una pirámide cuadrada.
GEOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a calcular el volumen y área de una pirámide cuadrada.
¿Cómo encontrar el volumen de una pirámide cuadrada?
El volumen de cualquier pirámide es encontrada al multiplicar al área de su base por la longitud de su altura y dividir por tres. Esto significa que tenemos la siguiente fórmula:
$latex \text{Volumen}=\frac{1}{3}\text{Área base}\times \text{Altura}$
Sabemos que la base de una pirámide cuadrada es un cuadrado. Además, también sabemos que el área de un cuadrado es encontrada al elevar al cuadrado a una de las longitudes de sus lados. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
| $latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$ |
en donde, l es la longitud de uno de los lados de la base cuadrada y h es la longitud de la altura de la pirámide.
¿Cómo encontrar el área superficial de una pirámide cuadrada?
El área superficial de una pirámide cuadrada es equivalente a la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide. Estas pirámides tienen una cara cuadrada en la base y cuatro caras triangulares laterales.
Dado que la base cuadrada tiene lados con la misma longitud, su área es igual a la longitud de uno de los lados elevada al cuadrado.
Por otra parte, sabemos que el área de cualquier triángulo es igual a un medio de la longitud de la base multiplicada por la altura del triángulo. En las pirámides cuadradas, las bases de las caras triangulares son los lados de la base cuadrada.
Esto significa que las bases de las cuatro caras triangulares son iguales, por lo tanto, sus áreas son iguales. Entonces, tenemos la siguiente fórmula:
| $latex A_{S}={{l}^2}+2lh$ |
en donde, l representa a la longitud de uno de los lados de la base cuadrada y h
Ejercicios de volumen y área de pirámides cuadradas resueltos
EJERCICIO 1
¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrada que tiene una altura de 5 m y lados de longitud 4 m?
Solución
Tenemos las siguientes longitudes
- Lados del cuadrado, $latex l=4$
- Altura, $latex h=5$
Entonces, usamos estos valores en la fórmula del volumen:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(4)}^2}\times (5)$
$latex V=\frac{1}{3}(16)\times (5)$
$latex V=26.67$
El volumen es igual a 26.67 m³.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área superficial de una pirámide que tiene una base cuadrada de lados de 3 m y caras triangulares de altura de 4 m?
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- Lados base, $latex l=3$
- Altura de triángulos, $latex h=4$
Usamos estos datos en la fórmula del área superficial:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{3}^2}+2(3)(4)$
$latex A_{S}=9+24$
$latex A_{S}=33$
El área superficial es 33 m².
EJERCICIO 3
Si es que tenemos una pirámide con una altura de 6 m y una base cuadrada con lados de 5 m, ¿cuál es su volumen?
Solución
De la pregunta, obtenemos la siguiente información:
- Lados del cuadrado, $latex l=5$
- Altura, $latex h=6$
Al sustituir estos valores en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(5)}^2}\times (6)$
$latex V=\frac{1}{3}(25)\times (6)$
$latex V=50$
El volumen es igual a 50 m³.
EJERCICIO 4
Si es que una pirámide cuadrada tiene lados de longitud de 5 m y caras triangulares de altura de 6 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Lados base, $latex l=5$
- Altura de triángulos, $latex h=6$
Usamos la fórmula del área superficial con la información dada:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{5}^2}+2(5)(6)$
$latex A_{S}=25+60$
$latex A_{S}=85$
El área superficial es 85 m².
EJERCICIO 5
¿Cuál es el volumen de una pirámide que tiene una altura de 9 m y una base cuadrada con lados de longitud de 8 m?
Solución
Observamos la siguiente información:
- Lados del cuadrado, $latex l=8$
- Altura, $latex h=9$
Usando estos valores en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex V=\frac{1}{3}{{(8)}^2}\times (9)$
$latex V=\frac{1}{3}(64)\times (9)$
$latex V=192$
El volumen es igual a 192 m³.
EJERCICIO 6
Una pirámide tiene una base cuadrada con lados de 10 m y caras triangulares de altura de 7 m. ¿Cuál es su área superficial?
Solución
De la pregunta, tenemos lo siguiente:
- Lados base, $latex l=10$
- Altura de triángulos, $latex h=7$
Resolvemos usando la fórmula del área superficial:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{10}^2}+2(10)(7)$
$latex A_{S}=100+140$
$latex A_{S}=240$
El área superficial es 240 m².
EJERCICIO 7
Una pirámide cuadrada tiene un volumen de 96 m³. Si es que sus lados tienen una longitud de 6 m, ¿cuál es la longitud de su altura?
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- Lados del cuadrado, $latex l=6$
- Volumen, $latex V=96$
En este caso, tenemos el volumen y queremos encontrar la longitud de la altura de la pirámide. Entonces, usamos la fórmula del volumen y resolvemos para h:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}{{(6)}^2}\times h$
$latex 96=\frac{1}{3}(36)\times h$
$latex 96=12 h$
$latex h=8$
La longitud de la altura es igual a 8 m.
EJERCICIO 8
¿Cuál es el área superficial de una pirámide cuadrada que tiene lados de 11 m y caras triangulares de altura de 12 m?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Lados base, $latex l=11$
- Altura de triángulos, $latex h=12$
Usamos la fórmula del área superficial con estos valores:
$latex A_{S}={{l}^2}+2lh$
$latex A_{S}={{11}^2}+2(11)(12)$
$latex A_{S}=121+264$
$latex A_{S}=385$
El área superficial es 385 m².
EJERCICIO 9
Si es que una pirámide cuadrada tiene un volumen de 75 m³ y una altura de 9 m, ¿cuál es la longitud de su altura?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- Altura, $latex h=9$
- Volumen, $latex V=75$
Usamos la fórmula del volumen y resolvemos para l:
$latex V=\frac{1}{3}{{l}^2}\times h$
$latex 75=\frac{1}{3}{{l}^2}\times (9)$
$latex 75=3{{l}^2}$
$latex {{l}^2}=25$
$latex l=5$
La longitud de los lados es igual a 5 m.
Ejercicios de volumen y área de pirámides cuadradas para resolver
Si es que una pirámide cuadrada tiene un volumen de 12 m3 y una altura de 4 m, ¿cuál es la longitud de sus lados?
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre pirámides? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
