Volumen y Área de un Tetraedro – Fórmulas y Ejercicios

Un tetraedro es una pirámide regular que tiene cuatro caras triangulares. Esto significa que podemos calcular su volumen al multiplicar el área de su base por la altura del tetraedro y dividir por tres. Además, su área superficial es calculada al sumar las áreas de las cuatro caras triangulares.

A continuación, conoceremos las fórmulas para encontrar el volumen y el área superficial de un tetraedro. Aprenderemos a derivar estas fórmulas y las usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un tetraedro regular

Relevante para

Aprender a calcular el volumen y el área de un tetraedro.

Ver ejercicios

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un tetraedro regular

Relevante para

Aprender a calcular el volumen y el área de un tetraedro.

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¿Cómo encontrar el volumen de un tetraedro?

Dado que el tetraedro es una pirámide triangular, podemos calcular su volumen al multiplicar el área de su base por la longitud de su altura y dividir por 3.

La fórmula del volumen de un tetraedro regular es:

$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$

Demostración de la fórmula del volumen de un tetraedro

Como mencionamos anteriormente, los tetraedros son pirámides triangulares. Además, el área de cualquier pirámide puede ser calculada al multiplicar el área de su base por la altura de la pirámide y dividir por tres. Entonces, tenemos:

$latex V=\frac{1}{3}A_{b}H$

en donde, $latex A_{b}$ es el área de la base y H es la altura del tetraedro.

diagrama de un tetraedro con lados y altura

La base de un tetraedro es un triángulo equilátero y sabemos que el área de cualquier triángulo es igual a un medio de la base multiplicada por la altura. Entonces, tenemos:

$latex A_{b}=\frac{1}{2}bh$

diagrama de un triángulo equilátero con altura

La base del triángulo es igual a uno de los lados del tetraedro, a. Además, la altura de un triángulo equilátero es igual a $latex \frac{\sqrt{3}}{2}a$, en donde a es la longitud de uno de los lados. Entonces, tenemos

$latex A_{b}=\frac{1}{2}bh$

$latex A_{b}=\frac{1}{2}a\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$

$latex A_{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

Finalmente, tenemos que la altura de un tetraedro es igual a:

$latex H=\frac{\sqrt{6}}{3}a$

Sustituyendo todo esto en la fórmula del volumen de un tetraedro, tenemos:

$latex V=\frac{1}{3}A_{b}H$

$latex V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}bh\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)$

$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{18}}{36}$

$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{9\times 2}}{36}$

$latex V=\frac{3{{a}^3}\sqrt{2}}{36}$

$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$


¿Cómo encontrar el área superficial de un tetraedro?

Los tetraedros están formados de cuatro caras congruentes. Esto significa que podemos calcular su área superficial al sumar las áreas de las cuatro caras.

La fórmula del área superficial de un tetraedro regular es:

$latex A_{s}=\sqrt{3} ~{{a}^2}$

Demostración de la fórmula del área superficial de un tetraedro

Dado que los tetraedros son pirámides triangulares, sus cuatro caras son congruentes. Esto significa que todas sus caras tienen la misma forma y la misma figura. Entonces, podemos calcular el área superficial si es que conocemos el área de una de las caras del tetraedro.

Esto significa que tenemos:

$latex A_{s}=4A_{t}$

en donde, $latex A_{s}$ es el área superficial del tetraedro y $latex A_{t}$ es el área de una de las caras triangulares.

diagrama de un tetraedro regular con lados

Ahora, podemos calcular el área de una de las caras al recordar que las caras de un tetraedro son triángulos equiláteros. Entonces, usamos la fórmula del área de un triángulo equilátero:

fórmula del área de un triángulo equilátero

en donde, a es la longitud de uno de los lados.

Sustituyendo esto en la fórmula del área superficial del tetraedro, tenemos:

$latex A_{s}=4A_{t}$

$latex A_{s}=4\frac{\sqrt{3}}{4}~{{a}^2}$

$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$


Volumen y área de un tetraedro – Ejercicios resueltos

EJERCICIO 1

Si es que un tetraedro tiene lados con una longitud de 3 m, ¿cuál es su volumen?

Solución

EJERCICIO 2

¿Cuál es el área superficial de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 5 m?

Solución

EJERCICIO 3

Un tetraedro tiene lados con una longitud de 20 cm. Calcula su volumen.

Solución

EJERCICIO 4

Si es que un tetraedro tiene lados con una longitud de 6 m, ¿cuál es su área superficial?

Solución

EJERCICIO 5

¿Cuál es el volumen de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 10 m?

Solución

EJERCICIO 6

¿Cuál es el área superficial de un tetraedro que tiene lados con una longitud de 12 cm?

Solución

EJERCICIO 7

Si es que el volumen de un tetraedro es igual a $latex 1000 {{m}^3}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

Solución

EJERCICIO 8

Si es que el área superficial de un tetraedro es igual a $latex 300 {{m}^2}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

Solución

EJERCICIO 9

El volumen de un tetraedro es igual a $latex 400 {{m}^3}$. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

Solución

EJERCICIO 10

Si es que el área superficial de un tetraedro es igual a $latex 1000 {{m}^2}$, ¿cuál es la longitud de sus lados?

Solución

Volumen y área de un tetraedro – Ejercicios para resolver

Práctica de volumen y área de tetraedros
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El área superficial de un tetraedro es igual a 180.2 m2, ¿cuál es la longitud de sus lados?

Escribe la respuesta a un lugar decimal.

$latex l=$ m

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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