Los octaedros son uno de los cinco sólidos platónicos. Estas figuras geométricas son regulares y están formadas de ocho caras triangulares congruentes. Entonces, para calcular su área superficial, tenemos que calcular el área de una cara y multiplicar por ocho.

A continuación, conoceremos la fórmula del área superficial de un octaedro. Aprenderemos a derivar esta fórmula y la usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA

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Aprender a calcular el área superficial de un octaedro con ejercicios.

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Fórmula del área superficial de un octaedro

Los octaedros son figuras tridimensionales formadas por ocho caras triangulares. El octaedro es uno de los cinco sólidos platónicos. Para calcular el área superficial de un octaedro, usamos la siguiente fórmula:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

en donde, a es la longitud de uno de los lados del octaedro.

Demostración de la fórmula del área superficial de un octaedro

Podemos obtener la fórmula del área superficial de un octaedro al considerar que el área superficial de cualquier figura tridimensional es igual a la suma del área de todas sus caras.

En el caso de octaedros, tenemos ocho caras triangulares congruentes. Es decir, tenemos ocho caras con la misma forma y las mismas dimensiones, por lo que el área superficial es:

A_{s}=8A_{t}

en donde, A_{t} es el área de cada cara triangular.

Además, cuando hablamos de un octaedro, normalmente nos referimos a un octaedro regular. Si este es el caso, cada cara triangular es un triángulo equilátero.

Entonces, recordando que la fórmula del área de un triángulo equilátero es:

fórmula del área de un triángulo equilátero

podemos sustituir ese valor en la fórmula del área superficial:

A_{s}=8\times \frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}


Área superficial de un octaedro – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando la fórmula del área superficial de un octaedro. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios tú mismo primero.

EJERCICIO 1

¿Cuál es el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 2 m?

Podemos resolver este problema al usar la fórmula del área superficial de un octaedro con el valor a=2. Entonces, tenemos:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~{{2}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~4

A_{s}=13.86

El área superficial del octaedro dado es 13.86~{{m}^2}

EJERCICIO 2

Encuentra el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 5 cm.

Usamos la fórmula del área superficial, sustituyendo el valor a=5. Entonces, tenemos:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~{{5}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~25

A_{s}=86.6

Entonces, el área superficial es 86.6~{{cm}^2}

EJERCICIO 3

Si es que un octaedro tiene lados con una longitud de 8 cm, ¿cuál es su área superficial?

Aplicamos la fórmula del área superficial con el valor a=8:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~{{8}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~64

A_{s}=221.7

El área superficial del octaedro es 221.7~{{cm}^2}

EJERCICIO 4

Si es que el área superficial de un octaedro es 50~{{m}^2}, ¿cuál es la longitud de sus lados?

En este caso, tenemos el área superficial del octaedro y queremos calcular la longitud de uno de sus lados. Entonces, tenemos que usar la fórmula del área superficial y resolver para a:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

50=2\sqrt{3}~{{a}^2}

14.43={{a}^2}

a=3.8

Los lados del octaedro tienen una longitud de 3.8 m.

EJERCICIO 5

Un octaedro tiene un área superficial de 73.3~{{m}^2}. Determina la longitud de uno de sus lados.

Vamos a usar la fórmula del área superficial con el área superficial dada y resolveremos para a:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

73.3=2\sqrt{3}~{{a}^2}

21.16={{a}^2}

a=4.6

El octaedro tiene lados con una longitud de 4.6 m.

EJERCICIO 6

¿Cuál es la longitud de los lados de un octaedro que tiene un área superficial de 150~{{cm}^2}?

Usando la fórmula del área superficial, podemos resolver para a:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

150=2\sqrt{3}~{{a}^2}

43.3={{a}^2}

a=6.58

Cada lado del octaedro tiene una longitud de 6.58 cm.

EJERCICIO 7

Calcula el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 13.4 m.

Usamos la fórmula del área superficial con a=13.4. Entonces, tenemos:

A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~{{13.4}^2}

A_{s}=2\sqrt{3}~179.56

A_{s}=622

El área superficial del octaedro es 622~{{m}^2}

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Área superficial de un octaedro – Ejercicios para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando lo aprendido sobre el área superficial de un octaedro. Si tienes problemas con estos ejercicios, puedes mirar los ejemplos resueltos de arriba.

Calcula el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 3 m.

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¿Cuál es el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 6 cm?

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Un octaedro tiene un área superficial de 104.8~{{m}^2}. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

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Si es el área superficial de un octaedro es 256.2~{{cm}^2}, ¿cuál es la longitud de sus lados?

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Encuentra el área superficial de un octaedro que tiene lados con una longitud de 9.2 m.

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Véase también

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