Área Superficial de un Icosaedro – Fórmula y Ejercicios

Un icosaedro es uno de los cinco sólidos platónicos. Los icosaedros son figuras regulares, por lo que todas sus caras tienen las mismas dimensiones. Esto significa que el área superficial de un icosaedro puede ser calculada al encontrar el área de una cara y multiplicarla por 20.

A continuación, conoceremos una fórmula estándar que podemos usar para encontrar el área superficial de un icosaedro. También, resolveremos algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula del área superficial de un icosaedro

Relevante para

Aprender a calcular el área superficial de un icosaedro con ejercicios

Ver ejercicios

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Fórmula del área superficial de un icosaedro

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Fórmula del área superficial de un icosaedro

Los dodecaedros son figuras tridimensionales que tienen veinte caras triangulares congruentes. Esto significa que todas sus caras tienen la misma forma y las mismas dimensiones.

Podemos usar la siguiente fórmula para determinar el área superficial de un icosaedro:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~{{a}^2}$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del icosaedro.

Icosaedro con lados

Esta fórmula puede ser simplificada de la siguiente manera:

$latex A_{s}\approx 8.66{{a}^2}$

Derivación de la fórmula del área superficial de un icosaedro

Podemos derivar la fórmula del área superficial de un icosaedro al considerar que los icosaedros son figuras tridimensionales regulares que tienen todos sus lados y todas sus caras con las mismas dimensiones.

Entonces, podemos calcular el área superficial de un icosaedro al encontrar el área de una de las caras triangulares y multiplicar el resultado por 20.

Las caras son triángulos equiláteros y el Área de un Triángulo Equilátero puede ser encontrada con la siguiente fórmula:

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$

Al multiplicar a esa fórmula por 20, tenemos:

$$A_{s}=20\times \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$

$$A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$$


Área superficial de un icosaedro – Ejercicios resueltos

La fórmula del área superficial de un icosaedro es aplicada para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución.

EJERCICIO 1

Determina el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.

Vamos a aplicar la fórmula del área superficial de un icosaedro usando la longitud a=2:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(2)^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(4)$

$latex A_{s}=34.64$

El área superficial del icosaedro es $latex 34.64~{{m}^2}$.

EJERCICIO 2

¿Cuál es el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 5 cm?

Usando la fórmula del área superficial con la longitud a=5, tenemos:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(5)^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(25)$

$latex A_{s}=216.51$

El área superficial del icosaedro dado es $latex 216.51~{{cm}^2}$.

EJERCICIO 3

Encuentra el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 6 cm.

Aplicando la fórmula del área superficial usando a=6, tenemos:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(6)^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(36)$

$latex A_{s}=311.77$

El área superficial del icosaedro es $latex 311.77~{{cm}^2}$.

EJERCICIO 4

Si es que un icosaedro tiene un área superficial de $latex 67.9~{{m}^2}$, determina la longitud de sus lados.

En este caso, ya tenemos el área superficial del icosaedro y tenemos que encontrar la longitud de uno de sus lados. Entonces, podemos usar la fórmula del área superficial y resolver para a:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 67.9=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 7.84={{a}^2}$

$latex a=2.8$

Entonces, los lados del icosaedro tienen una longitud de a=2.8 metros.

EJERCICIO 5

Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 175~{{cm}^2}$.

Este ejercicio es similar al anterior, por lo que tenemos que usar el valor del área superficial dado y resolver para a:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 175=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 20.207={{a}^2}$

$latex a=4.495$

Los lados del icosaedro tienen una longitud de 4.495 cm.

EJERCICIO 6

¿Cuál es la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 461.5~{{m}^2}$.

Vamos a usar la fórmula del área superficial con el valor dado y vamos a resolver para a:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 461.5=5\sqrt{3}~a^2$

$latex 20.207={{a}^2}$

$latex a=53.289$

Los lados del icosaedro tienen una longitud de 53.289 m.

EJERCICIO 7

Encuentra el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 11.7 mm.

Sustituimos el valor a=11.7 en la fórmula del área superficial y tenemos:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(11.7)^2$

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(136.89)$

$latex A_{s}=1185.5$

El área superficial del icosaedro es $latex 1185.5~{{mm}^2}$.


Área superficial de un icosaedro – Ejercicios para resolver

Intenta resolver los siguientes ejercicios aplicando la fórmula del área superficial de un icosaedro. Haz clic en «Verificar» para comprobar que la respuesta seleccionada es correcta.

¿Cuál es el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 7 m?.

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Determina el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 9 cm.

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¿Cuál es la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 100.11~{{m}^2}$?

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Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 866.03 ~{{m}^2}$.

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¿Cuál es el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 12.2 cm?

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Véase también

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