Volumen y Área de un Icosaedro – Fórmula y Ejercicios

El icosaedro es uno de los cinco sólidos platónicos. Para calcular su volumen, podemos usar la longitud de uno de sus lados en una fórmula estándar. Por otro lado, su área superficial es calculada al sumar las áreas de todas las caras triangulares.

A continuación, aprenderemos a calcular el volumen y el área superficial de un icosaedro. Conoceremos cómo obtener sus fórmulas y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un icosaedro

Relevante para

Aprender a calcular el volumen y área de un icosaedro.

Ver ejercicios

GEOMETRÍA
Fórmula del volumen de un icosaedro

Relevante para

Aprender a calcular el volumen y área de un icosaedro.

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Cómo calcular volumen de un icosaedro

El icosaedro es una figura tridimensional regular, por lo que todas sus caras tienen la misma forma y las mismas dimensiones. Entonces, podemos calcular el volumen de un icosaedro usando la longitud de uno de sus lados en la siguiente fórmula:

$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del icosaedro.

Icosaedro con lados

Alternativamente, podemos simplificar esta ecuación al obtener una aproximación para la fracción en el lado derecho de la ecuación. Entonces, tenemos:

$latex V=2.1817{{a}^3}$


Cómo calcular el área superficial de un icosaedro

Podemos usar la siguiente fórmula para determinar el área superficial de un icosaedro:

$latex A_{s}=5\sqrt{3}~{{a}^2}$

en donde, a es la longitud de uno de los lados del icosaedro.

Icosaedro con lados

Esta fórmula puede ser simplificada de la siguiente manera:

$latex A_{s}\approx 8.66{{a}^2}$

Derivación de la fórmula del área superficial de un icosaedro

Podemos derivar la fórmula del área superficial de un icosaedro al considerar que los icosaedros son figuras tridimensionales regulares que tienen todos sus lados y todas sus caras con las mismas dimensiones.

Entonces, podemos calcular el área superficial de un icosaedro al encontrar el área de una de las caras triangulares y multiplicar el resultado por 20.

Las caras son triángulos equiláteros y el Área de un Triángulo Equilátero puede ser encontrada con la siguiente fórmula:

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$

Al multiplicar a esa fórmula por 20, tenemos:

$$A_{s}=20\times \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$

$$A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$$


Volumen y área de un icosaedro – Ejercicios resueltos

EJERCICIO 1

Determina el volumen de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.

Solución

EJERCICIO 2

Determina el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 2 m.

Solución

EJERCICIO 3

¿Cuál es el volumen de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 4 m?

Solución

EJERCICIO 4

¿Cuál es el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 5 cm?

Solución

EJERCICIO 5

Si es que un icosaedro tiene lados con una longitud de 7 cm, ¿cuál es su volumen?

Solución

EJERCICIO 6

Encuentra el área superficial de un icosaedro que tiene lados con una longitud de 6 cm.

Solución

EJERCICIO 7

El volumen de un icosaedro es $latex 60~{{m}^3}$. ¿Cuál es la longitud de uno de sus lados?

Solución

EJERCICIO 8

Si es que un icosaedro tiene un área superficial de $latex 67.9~{{m}^2}$, determina la longitud de sus lados.

Solución

EJERCICIO 9

Determina la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un volumen de $latex 170~{{m}^3}$.

Solución

EJERCICIO 10

Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de $latex 175~{{cm}^2}$.

Solución

Volumen y área de un icosaedro – Ejercicios para resolver

Práctica de volumen y área de icosaedros
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¡Has completado los ejercicios!

Encuentra la longitud de los lados de un icosaedro que tiene un área superficial de 866.03 m2.

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex l=$ m

Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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