10 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Esta ecuación cuadrática no tiene el término bx, es decir, tiene la forma $latex ax^2+c=0$. Para resolver esta ecuación, podemos despejar al término x² y sacar la raíz cuadrada que ambos lados de la ecuación:

$latex x^2-25=0$

$latex x^2=25$

Ahora, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{25}$

$latex x=\pm 5$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=5$ y $latex x=-5$.

Esta ecuación cuadrática no tiene el término c, es decir, tiene la forma $latex ax^2+bx=0$. Podemos resolver esta ecuación al factorizar a x y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex x^2-9x=0$

$latex x(x-9)=0$

Ahora, podemos obtener las siguientes ecuaciones lieales y resolver:

$latex x=0~~$ o $latex ~~x-9=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=9$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=9$.

Vamos a resolver esta ecuación usando factorización. Entonces, tenemos que buscar dos números, los cuales al ser multiplicados resulten en -7 y al ser sumados resulten en -6.

Los números que buscamos son -7 y 1. Entonces, tenemos:

$latex x^2-6x-7=0$

$latex (x-7)(x+1)=0$

Ahora, podemos formar una ecuación lineal con cada factor:

$latex x-7=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=7~~$ o $latex ~~x=-1$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=7$ y $latex x=-1$.

Para resolver esta ecuación, podemos usar la fórmula cuadrática. Entonces, usamos los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-8$ y $latex c=4$ y tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

$$x=7.46 \text{ o } 0.54$$

Entonces, las soluciones son $latex x=7.46$ y $latex x=0.54$.

Para usar la fórmula cuadrática, tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$latex -x^2-5x+25=-2x^2+5x$

$latex x^2-10x+25=0$

Ahora, tenemos los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-10$ y $latex c=25$. Usándolos en la fórmula cuadrática general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{10}{2}$$

$latex x=5$

En este caso, tenemos una sola raíz repetida $latex x=5$.

Para resolver la ecuación, tenemos que empezar simplificando y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 4x^2+5=2x^2+20$

$latex 4x^2-2x^2+5-20=0$

$latex 2x^2-15=0$

Ahora, podemos resolver al despejar x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-15=0$

$latex 2x^2=15$

$latex x^2=\frac{15}{2}$

$latex x=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}$

Primero, tenemos que expandir los paréntesis para simplificar la ecuación hasta escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

$$6x^2-x-1-(x^2+4x+4)=5$$

$latex 5x^2-5x-5=5$

$latex 5x^2-5x-10=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x^2-x-2)=0$

$latex 5(x+1)(x-2)=0$

$latex x+1=0~~$ o $latex ~~x-2=0$

$latex x=-1~~$ o $latex ~~x=2$

Vamos a usar la fórmula cuadrática con los coeficientes $latex a=5$, $latex b=4$ y $latex c=10$:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$

Al simplificar la expresión dentro de la raíz cuadrada, podemos ver que obtuvimos un valor negativo. $latex \sqrt{-184}$ no es un número real, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.

Sin embargo, si es que usamos números imaginarios, la ecuación sí tiene dos raíces complejas.

Podemos empezar multiplicando en cruz para simplificar las fracciones:

$$ (2x+1)(x+7)=(3x-1)(x+5)$$

Si es que expandimos los paréntesis y simplificamos, podemos formar una ecuación cuadrática de la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$$ 2x^2+15x+7=3x^2+14x-5 $$

$latex x^2-x-12=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+3)(x-4)=0$

$latex x+3=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=4$

Podemos resolver este ejercicio al formar ecuaciones usando la información dada. Si es que usamos las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números, tenemos:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Tomando a la ecuación 1 y escribiendo como $latex Y=17-X$, podemos sustituirla en la segunda ecuación:

$latex X(17-X)=60$

Ahora, podemos expandir y escribir a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

• Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
• Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.