10 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma general $latex ax^2+bx+c$. Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real. Existen varios métodos que podemos usar para resolver ecuaciones cuadráticas. Algunos de los métodos más importantes son el método de factorización, el método de completar el cuadrado y la fórmula cuadrática general.

A continuación, haremos una revisión sobre las ecuaciones cuadráticas y los métodos de resolución. Luego, veremos 10 ejercicios de ecuaciones cuadráticas con soluciones.

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10 Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones cuadráticas con ejercicios.

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Resumen de ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas se caracterizan porque sus variables tienen una potencia máxima de 2. Estas ecuaciones tienen la forma general $latex ax^2+bx+c=0$. Por ejemplo, las ecuaciones $latex 5x^2+2x+4=0$ y $latex 4x^2-5x-5=0$ son ecuaciones cuadráticas.

Podemos resolver este tipo de ecuaciones usando varios métodos diferentes dependiendo de la ecuación cuadrática que tengamos. Por ejemplo, tenemos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas, el método de factorización, el método de completar el cuadrado y la fórmula cuadrática general.

Para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma $latex ax^2+c=0$, empezamos despejando a x² completamente. Luego, tenemos que sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

Para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma $latex ax^2+bx=0$, empezamos factorizando a la x de ambos términos. Luego, tenemos que obtener una ecuación lineal con cada factor y resolver para x.

Para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma $latex ax^2+bx+c=0$, podemos usar el método de factorización. Para esto, tenemos que escribir a la ecuación en la forma $latex (x+p)(x+q)=0$ y formar una ecuación lineal con cada factor.

Finalmente, tenemos la fórmula cuadrática general que nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática y obtener sus dos raíces:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Si es que necesitas aprender o hacer una revisión de los métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas, puedes visitar nuestro artículo: Resolver Ecuaciones Cuadráticas – Métodos y Ejercicios.


10 Ejercicios de ecuaciones cuadráticas resueltos

Los siguientes 10 ejercicios de ecuaciones cuadráticas son resueltos usando varios métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Resuelve la ecuación $latex x^2-16=0$.

Esta ecuación cuadrática no tiene el término bx, es decir, tiene la forma $latex ax^2+c=0$. Para resolver esta ecuación, podemos despejar al término x² y sacar la raíz cuadrada que ambos lados de la ecuación:

$latex x^2-25=0$

$latex x^2=25$

Ahora, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y tenemos:

$latex x=\pm \sqrt{25}$

$latex x=\pm 5$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=5$ y $latex x=-5$.

EJERCICIO 2

Encuentra las soluciones de la ecuación $latex x^2-9x=0$.

Esta ecuación cuadrática no tiene el término c, es decir, tiene la forma $latex ax^2+bx=0$. Podemos resolver esta ecuación al factorizar a x y luego formar una ecuación con cada factor:

$latex x^2-9x=0$

$latex x(x-9)=0$

Ahora, podemos obtener las siguientes ecuaciones lieales y resolver:

$latex x=0~~$ o $latex ~~x-9=0$

$latex x=0~~$ o $latex ~~x=9$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=0$ y $latex x=9$.

EJERCICIO 3

Encuentra las raíces de la ecuación $latex x^2-6x-7=0$.

Vamos a resolver esta ecuación usando factorización. Entonces, tenemos que buscar dos números, los cuales al ser multiplicados resulten en -7 y al ser sumados resulten en -6.

Los números que buscamos son -7 y 1. Entonces, tenemos:

$latex x^2-6x-7=0$

$latex (x-7)(x+1)=0$

Ahora, podemos formar una ecuación lineal con cada factor:

$latex x-7=0~~$ o $latex ~~x+1=0$

$latex x=7~~$ o $latex ~~x=-1$

Las soluciones de la ecuación son $latex x=7$ y $latex x=-1$.

EJERCICIO 4

Resuelve la ecuación $latex x^2-8x+4=0$. Expresa las soluciones en dos lugares decimales.

Para resolver esta ecuación, podemos usar la fórmula cuadrática. Entonces, usamos los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-8$ y $latex c=4$ y tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-8)\pm \sqrt{( -8)^2-4(1)(4)}}{2(1)}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}$$

$$=\frac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

$$x=7.46 \text{ o } 0.54$$

Entonces, las soluciones son $latex x=7.46$ y $latex x=0.54$.

EJERCICIO 5

Resuelve la ecuación $latex -x^2-5x+25=-2x^2+5x$ usando la fórmula cuadrática.

Para usar la fórmula cuadrática, tenemos que empezar escribiendo a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$latex -x^2-5x+25=-2x^2+5x$

$latex x^2-10x+25=0$

Ahora, tenemos los coeficientes $latex a=1$, $latex b=-10$ y $latex c=25$. Usándolos en la fórmula cuadrática general, tenemos:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{( -10)^2-4(1)(25)}}{2(1)}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{100-100}}{2}$$

$$=\frac{10\pm \sqrt{0}}{2}$$

$$=\frac{10}{2}$$

$latex x=5$

En este caso, tenemos una sola raíz repetida $latex x=5$.

EJERCICIO 6

Resuelve la ecuación $latex 4x^2+5=2x^2+20$.

Para resolver la ecuación, tenemos que empezar simplificando y escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 4x^2+5=2x^2+20$

$latex 4x^2-2x^2+5-20=0$

$latex 2x^2-15=0$

Ahora, podemos resolver al despejar x² y sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$latex 2x^2-15=0$

$latex 2x^2=15$

$latex x^2=\frac{15}{2}$

$latex x=\pm \sqrt{\frac{15}{2}}$

EJERCICIO 7

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación usando cualquier método $$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

Primero, tenemos que expandir los paréntesis para simplificar la ecuación hasta escribirla en la forma $latex ax^2+bx+c=0$. Entonces, tenemos:

$$(3x+1)(2x-1)-(x+2)^2=5$$

$$6x^2-x-1-(x^2+4x+4)=5$$

$latex 5x^2-5x-5=5$

$latex 5x^2-5x-10=0$

Ahora, podemos resolver por factorización:

$latex 5x^2-5x-10=0$

$latex 5(x^2-x-2)=0$

$latex 5(x+1)(x-2)=0$

$latex x+1=0~~$ o $latex ~~x-2=0$

$latex x=-1~~$ o $latex ~~x=2$

EJERCICIO 8

Usa la fórmula cuadrática general o cualquier otro método para demostrar que la ecuación $latex 5x^2+4x+10=0$ no tiene soluciones reales.

Vamos a usar la fórmula cuadrática con los coeficientes $latex a=5$, $latex b=4$ y $latex c=10$:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-(4)\pm \sqrt{( 4)^2-4(5)(10)}}{2(5)}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{16-200}}{10}$$

$$=\frac{-5\pm \sqrt{-184}}{10}$$

Al simplificar la expresión dentro de la raíz cuadrada, podemos ver que obtuvimos un valor negativo. $latex \sqrt{-184}$ no es un número real, por lo que la ecuación no tiene raíces reales.

Sin embargo, si es que usamos números imaginarios, la ecuación sí tiene dos raíces complejas.

EJERCICIO 9

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación $$\frac{2x+1}{x+5}=\frac{3x-1}{x+7}$$

Podemos empezar multiplicando en cruz para simplificar las fracciones:

$$ (2x+1)(x+7)=(3x-1)(x+5)$$

Si es que expandimos los paréntesis y simplificamos, podemos formar una ecuación cuadrática de la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$$ 2x^2+15x+7=3x^2+14x-5 $$

$latex x^2-x-12=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex (x+3)(x-4)=0$

$latex x+3=0~~$ o $latex ~~x-4=0$

$latex x=-3~~$ o $latex ~~x=4$

EJERCICIO 10

Tenemos dos números que tienen una suma igual a 17 y al multiplicarlos, obtenemos 60. Encuentra los dos números.

Podemos resolver este ejercicio al formar ecuaciones usando la información dada. Si es que usamos las letras X (número menor) y Y (número mayor) para representar a los números, tenemos:

$latex X+Y=17~~[1]$

$latex XY=60~~[2]$

Tomando a la ecuación 1 y escribiendo como $latex Y=17-X$, podemos sustituirla en la segunda ecuación:

$latex X(17-X)=60$

Ahora, podemos expandir y escribir a la ecuación en la forma $latex ax^2+bx+c=0$:

$latex 17X-X^2=60$

$latex X^2-17X+60=0$

Resolviendo por factorización, tenemos:

$latex X^2-17X+60=0$

$latex (X-12)(X-5)=0$

$latex X-12=0~~$ o $latex ~~X-5=0$

$latex X=12~~$ o $latex ~~X=5$

Entonces, tenemos:

  • Si es que $latex X=5$, tenemos $latex Y=17-5=12$. Esta solución es la correcta porque X<Y.
  • Si es que $latex X=12$, tenemos $latex Y=17-12=5$

Los números son 12 y 5.


5 Ejercicios de ecuaciones cuadráticas para resolver

Resuelve los siguientes ejercicios usando cualquier método de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Resuelve la ecuación $latex 4x^2-24=0$.

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Resuelve la ecuación $latex 3x^2+5x=0$.

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¿Cuáles son las soluciones de la ecuación $latex 2x^2-13x-24=0$.

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Resuelve la ecuación $latex x^2-x-10=x+5$.

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Encuentra las soluciones de la ecuación $latex x^2-8x+4=0$. Muestra las soluciones en dos lugares decimales.

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