Usos de Derivadas

En las anteriores lecciones, aprendimos que la pendiente de la línea que mejor se aproxima a f cerca de x, es decir, su línea tangente es \(f'(x)\). También aprendimos las maneras en las que podemos calcular esta derivada.

En esta lección, exploraremos las aplicaciones de las derivadas. También aprenderemos sobre las derivadas de orden superior.

Encontramos que, \(f'(x)=\lim_{a\to x}⁡ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\), la pendiente de la mejor aproximación lineal a y=f(x) en x, es la tasa de variación instantánea de f.

Una línea incrementa cuando su pendiente es positiva y decrece cuando su pendiente es negativa. Entonces, \(f'(x)\) nos dice si es que f está incrementando o decreciendo cerca a x.

Sin usar una gráfica, ¿cuál es el conjunto de valores de x en donde \(f(x)=-{{x}^2}+6x+3\)?

La función \(f(x)=-{{x}^2}+6x+3\) no sólo decrece para x>3, sino que también incrementa para x<3.

Algo especial sucede cuando x=3 ya que \(f'(3)=-2\times 3+6=0\).

En ese punto, la curva cambia de incrementar a decrecer. Ese es el punto más alto en la gráfica y es el único punto en donde la línea tangente es perfectamente horizontal.

Imagina que lanzas una esfera hacia arriba como se muestra en la interactiva.

Creado con GeoGebra

La esfera alcanza un punto más alto y luego cae. A medida que sube, su función de altura h(t) incrementa y su velocidad \(v(t)=h'(t)\) es positiva. Cuando la esfera sube lo más alto posible, su velocidad se vuelve 0 por un momento y luego h(t) empieza a decrecer, lo que significa que \(h'<0\).

Esto significa que la derivada nos dice en dónde encontrar los puntos altos y bajos de y=f(x).

¿Cuáles son los lugares en donde la curva \(y=f(x)=2{{x}^4}-4{{x}^2}+4\) podría tener puntos altos o bajos?

Selecciona uno o más

Los puntos críticos que encontramos en el anterior problema x=0, ±1 son extremos locales. Esto significa que sus valores de f son los más grandes o pequeños cuando son comparados con otros puntos cercanos.

La siguiente es la gráfica de \(y=f(x)=2{{x}^4}-4{{x}^2}+4\):

Observa que los x=±1 corresponden a los valores más bajos posibles de f, tenemos f(±1)=2. Entonces, estos puntos son llamados mínimos absolutos.

Sin embargo, x=0 sólo tiene el valor más grande de f al ser comparado con valores cercanos, tenemos f(0)=4. Entonces, x=0 es un máximo local.

Podemos ver claramente que la función tiene un valor más bajo, pero no tiene un valor más alto.

Hemos visto que \(f’=0\) nos ayuda a localizar extremos. Ahora miraremos una prueba para puntos críticos que usa derivadas, la cual nos dirá si es que los extremos localizados son máximos o mínimos.

Supongamos que podemos encontrar una parábola que se parezca mucho a f en cualquier punto (a, f(a)) como en la siguiente interactiva. Esto mejoraría la estimación ya que las aproximaciones lineales no pueden tener curvas.

Creado con GeoGebra

Esta aproximación cuadrática tendría la forma

\(P(x)=A{{(x-a)}^2}+B(x-a)+f(a)\)

para asegurarnos de que P(a)=f(a).

Si es que la constante A es diferente de 0, ¿qué nos diría sobre la gráfica de f en (a, f(a))?

Con la aproximación cuadrática \(P(x)=A{{(x-a)}^2}+B(x-a)+f(a)\) de f cerca de x=a, podemos separar los puntos máximos y mínimos:

• Si es que A>0 y \(f'(a)=0\), entonces a es un mínimo local ya que la gráfica de f tiene que abrirse hacia arriba cerca de este punto.

• Si es que A<0 y \(f'(a)=0\), entonces a es un máximo local ya que la gráfica de f tiene que abrirse hacia abajo cerca de este punto.

Tanto P como f se verán como la misma línea recta cerca de x=a, por lo que sus aproximaciones lineales tienen que ser iguales en x=a.

¿Qué sugiere esta condición con respecto a las constantes A y/o B?

Ten en cuenta que, para muchas funciones, \(f'(x)\) también tiene una derivada. \(f'(x)\) es llamada la primera derivada de f y \(\frac{d}{dz} \left[f'(x)\right]\) es la derivada de la derivada, es decir, es la segunda derivada de f.

Para simplificar la notación de la segunda derivada, usamos \(f»(x)\) o \(\frac{{{d}^2}f}{d{{x}^2}}\).

Para ciertas funciones como los polinomios, podemos sacar tantas derivadas como necesitemos:

Esta es la derivada de n orden de f, lo que significa que sacamos n derivadas de f para encontrar \({{f}^{(n)}}(x)\).

Ahora que sabemos un poco sobre las derivadas de orden superior, podemos encontrar la contante A en el polinomio \(P(x)=A{{(x-a)}^2}+B(x-a)+f(a)\).

Además de que f y P necesitan aproximaciones lineales similares, es decir, primeras derivadas similares en x=a, también deben tener segundas derivadas similares allí.

¿Cuál es la constante A?

Con la segunda derivada, podemos formar una aproximación cuadrática para f cerca de x=a:

Con el coeficiente de segundo grado, podemos clasificar los puntos críticos como máximos o mínimos. Si es que \(f'(a)=0\), entonces \(f» (a)>0\) significa que hay un mínimo local en a y \(f»(a)<0\) significa que hay un máximo local en a.

Usando esto, encuentra todos los puntos críticos de \(f(x)=2{{x}^2}-6x\) y clasifícalos como máximos locales o mínimos locales.

Selecciona una o más

Anteriormente mencionamos que \(h'(t)\) es la velocidad de la esfera:

Creado con GeoGebra

Resulta que \(h»(t)\) también tiene significado físico.

Dado que \(h»(t)=\frac{d}{dt}\left[h'(t)\right]\), la segunda derivada mide la tasa de variación de la velocidad, es decir, la aceleración.

Si es que tenemos h(t)=-5t² m/s²+12t m/s+1 m, lo que significa que la esfera es lanzada con una velocidad inicial de 10 metros por segundo 1 metro sobre el suelo, ¿qué puedes decir sobre su aceleración?

Las ideas principales que aprendimos en esta lección son: