Regla de l’Hôpital

En esta lección, aprenderemos a usar la Regla de l’Hôpital para calcular límites complejos.

Considera el siguiente límite:

Tanto el numerador como el denominador se acercan a 0 a medida que x se acerca a 3, por lo que es de la forma indeterminada 0/0.

Sabemos que podemos evaluar este límite al factorizar los polinomios en el numerador y denominador:

Este truco de factorización sólo funciona en casos especiales, por lo que miraremos una forma más general para calcular este tipo de límites.

Si es que tenemos dos funciones diferenciables f y g y queremos calcular un límite de la forma:

Podemos dividir el numerador y el denominador de esta fracción por x-a, para obtener:

¿A qué es igual esta expresión?

Tenemos dos funciones diferenciables f(x) y g(x) con f(a)=g(a)=0 y queremos evaluar \(\lim_{x\to a}⁡\frac{f(x)}{g(x)}\).

Si es que nos acercamos cerca del punto (a, 0), las gráficas de las funciones parecerán más y más a líneas rectas. Entonces, el límite de la proporción de las dos funciones debería ser igual a la proporción de las pendientes de las líneas. Esto es simplemente la proporción \(\frac{f'(a)}{g'(a)}\).

Las ecuaciones de esas líneas tangentes son, \(y=f'(a)(x-a)\) y \(y=g'(a)(x-a)\). Por lo que la proporción debería ser aproximadamente:

Ahora tenemos que f y g son funciones diferenciables con f(a)=g(a)=0 y también tenemos que \(g'(a)\neq 0\). Entonces, el argumento de la anterior página muestra:

A esto se conoce como la Regla de l’Hôpital y es útil para evaluar derivadas.

Evalúa el siguiente límite sin factorizar:

Este es el enunciado del teorema que encontramos en las anteriores preguntas:

La condición que \(g'(0)\neq 0\) fue removida ya que muchas veces encontramos que \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f'(x)}{g'(x)}\) también es una forma indeterminada de tipo 0/0 y para calcular su límite podemos aplicar la Regla de l’Hôpital otra vez.

Usando el teorema que vimos en la anterior página, calcula el siguiente límite:

La Regla de l’Hôpital también puede ser aplicada cuando \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f(x)}{g(x)}\) es de la forma indeterminada \(\frac{\infty}{\infty}\). Entonces, cuando tenemos este tipo de límites, esto es igual a \(\lim_{x\to a}⁡ \frac{f'(x)}{g'(x)}\). Y otras formas indeterminadas también pueden usar la Regla de l’Hôpital al transformarlas en cocientes.

Por ejemplo, trasforma en cociente y calcula el siguiente límite:

Un error común es olvidar los prerrequisitos para la Regla de l’Hôpital. Teniendo en cuenta esto, ¿a qué es equivalente el siguiente límite?

La Regla de l’Hôpital también puede ser usada para calcular \(\lim_{x\to \infty}⁡ \frac{f(x)}{g(x)}\).

Si es que a es un número real, ¿para qué valores de a es la siguiente expresión verdadera?

En una lección anterior, dijimos que los exponenciales dominan sobre los polinomios.
Ahora veamos porqué esto es verdad.

¿Para qué valores de a es la siguiente expresión verdadera?