Regla de la Cadena

En lecciones anteriores vimos que, la derivada de \(f(x)={{e}^{2x}}\) es \(f'(x)=2{{e}^{2x}}\) y también que la derivada de g(x)=cos⁡(x) es \(g'(x)=-\sin⁡(x)\).

En esta lección, miraremos lo que está pasando con estas derivadas más sistemáticamente.

Considerando una función f y la función definida por g(x)=f(-x). La gráfica de g es obtenida al voltear la gráfica de f con respecto al eje y.

Considerando un punto a en el dominio de g y el punto correspondiente b para f, el cual es b=-a, ¿cuál es la relación entre la derivada de g en a y la derivada de f en b?

Tenemos las funciones f(x)=sin(x) y g(x)=sin⁡(2x). La gráfica de g se ve como f, pero comprimida por un factor de 2. Al considerar un punto a en el dominio de g, el punto correspondiente es b=2a. Esta es la b en donde f realiza la misma acción que g hace en a. En las gráficas podemos ver que b se ubica en el lugar correspondiente en donde se ubica a.

¿Cuál es la relación entre \(g’\) en a y \(f’\) en b?

Recuerda que, \(f\circ g\) significa que primero aplicamos la función g y luego aplicamos la función f.

La regla de la cadena nos dice cómo calcular la derivada de una función compuesta, \(f\circ g\).

Considera tres líneas orientadas verticalmente como se muestra en la siguiente imagen. Empezamos con un punto a en la primera y g lo trasnforma en un punto b en la segunda línea, lo que significa que b=g(a). Luego, f toma ese punto b y lo transforma en c en la tercera línea. Por lo tanto, \(c=(f\circ g)(a)\).

Supongamos que tenemos que \(g'(a)=3\). Usando el punto de vista del empuje de entradas de una derivada, \(g’ (a)=3\) significa que si es que miramos un punto x, el cual está ∆x alejado de a, entonces g enviará ese punto aproximadamente 3∆x alejado de b. Esto significa que g tiene un factor aumentador de 3 cerca de a.

Supongamos que también tenemos que \(f’ (b)=2\). De igual forma, esto significa que f actúa con un factor aumentador 2 cerca de b, por lo que puntos cercanos a b son enviados por f a puntos aproximadamente 2 veces la distancia desde c.

Por lo tanto, el punto b+3∆x ahora es enviado por f aproximadamente a \(c+2\cdot 3\Delta x=c+6\Delta x\):

Entonces, empezando con x, un punto alejado ∆x de a, terminamos con un punto aproximadamente alejado 6∆x de c. Esto significa que la derivada de \(f\circ g\) en a es 6.

Cuando aplicamos g y luego f, los factores aumentadores se multiplican y, por lo tanto, las derivadas sólo se multiplican.

Tenemos que multiplicar las derivadas en los puntos correspondientes, es decir, la derivada de g en a multiplicada por la derivada de f en b.

La regla de la cadena dice que la derivada de \(f\circ g\) en a es el producto de derivadas en los puntos correspondientes.

¿Completa la siguiente expresión?

Esto sólo significa que las derivadas de f y g se multiplican cuando son evaluadas en los puntos correspondientes correctos.

Para aplicar la regla de la cadena, sólo tenemos que identificar cuál función es g y cuál es f. Muchas veces, g es llamada la función interna y f la función externa. Por ejemplo, tenemos que \(h(x)={{e}^{2x}}\). Entonces, la función interna es g(x)=2x y la función externa es \(f(x)={{e}^x}\).

La regla de la cadena nos dice que \(h'(a)\) es \(f’\), es decir, \({{e}^x}\) evaluada en 2a multiplicada por \(g’\) evaluada en a. Por lo tanto, \(h'(a)={{e}^{2a}}\times 2\). La derivada de \({{e}^{2x}}\) es 2 veces la derivada de \({{e}^x}\) en el punto correspondiente, el cual es b=2a.

¿Cuál es la derivada de sin(x²) en un punto x?

Recordando que la derivada de \({{e}^x}\) es simplemente \({{e}^x}\), ¿cuál es la derivada de \({{e}^{{{x}^2}+3}}\)?

Recordando que la derivada de \({{x}^{\frac{1}{2}}}\) es \(\frac{1}{2} {{x}^{-\frac{1}{2}}}\), evalúa la derivada de la siguiente expresión:

La regla de la cadena también nos permite determinar la derivada de funciones inversas.

La función inversa de f es una función que revierte el efecto de la función original. Por ejemplo, la inversa de x² es √x. La idea principal es que la inversa puede ser expresada como:

Usando la regla de la cadena, determina la relación entre la derivada de f en a y la derivada de \({{f}^{-1}}\) en el punto correspondiente b=f(a).

Recuerda que la derivada de sin⁡(x) es cos⁡(x).

La función f(x)=arcsin(x) es definida por la fórmula sin⁡(arcsin(x))=arcsin⁡(sin⁡(x))=x arcsin(x) siempre es tomado en un valor dentro del intervalo \(\left[-\frac{\pi}{2},~\frac{\pi}{2}\right]\). Este intervalo es el rango de arcsin(x) y el dominio de arcsin(x) es el intervalo [-1, 1].

¿Cuál es la derivada de arcsin(x)?