Límites de Funciones

Decimos que el límite de la función f a medida que x se acerca a a es el número L si es que, a medida que x se acerca más y más a a, los valores de la función f(x) se acercan más y más a L.

En el siguiente ejemplo, el límite de la función a medida que x se acerca a 3 por cualquier lado es 2.

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¿Cuál es el límite de la función f(x) a medida que x se acerca a 0?

Ahora, considera la función f:

Esto significa que f es la función f(x)=x², con la excepción de que hemos especificado que el valor de la función cuando x=2 es 2.

¿A qué es igual \(\lim_{x\to 2}⁡ f(x)\)?

En la anterior pregunta vimos que, el valor de la función en x=2 era 2. Pero el límite era 4 ya que a medida que los valores de x se acercan más y más a 2, los valores de la función se acercan más y más a 4.

\(\lim_{x\to a}⁡ f(x)\) no tiene nada que ver con el valor de f en el punto a en sí. El límite sólo nos dice lo que pasa a medida que x se acerca a a.

¿A qué es igual \(\lim_{x\to 0}⁡ f(x)\) en el siguiente ejemplo?

En el anterior problema vimos que, a medida que x se acercaba a 0 desde la izquierda, los valores de la función se acercaban a 2 y a medida que x se acercaba a 0 desde la derecha, los valores de la función se acercaban a -2. Esto significa que no hay un solo valor de L al cual la función se acerca sin importar qué tan cerca esté x de 0. Por lo tanto, el límite no existe.

Esta es una de las maneras en las que un límite no pueda existir. Pero también hay otras maneras. Por ejemplo, en anteriores problemas vimos que, \(\lim_{x\to 0} ⁡sin⁡(\frac{1}{x})\) no existe ya que a medida que x se hace más pequeño, \(\frac{1}{x}\) se hace más grande y por lo tanto la función seno oscila entre -1 y 1 sin acercarse a ningún valor particular.

La siguiente función f(x) está definida en el intervalo (0,10].

¿Cuántos de los siguientes límites existen?

• \(\lim_{x \to 0} f(x)\)
• \(\lim_{x \to 3} f(x)\)
• \(\lim_{x \to 6} f(x)\)
• \(\lim_{x \to 8} f(x)\)

Muchas veces, no tendremos la gráfica de la función para calcular límites, por lo que tendremos que encontrar los límites basados enteramente en una expresión algebraica.

¿A qué es igual \(\lim_{x\to 2}⁡ f(x)\)?

El anterior ejemplo fue fácil ya que la función era continua en x=2. Ahora veamos lo que pasa con:

La función está indefinida en x=1 debido al denominador. No es posible evaluar f(1) ya que obtendríamos la forma indeterminada 0/0. Cuando tenemos estos casos, el límite no es obvio. Sin embargo, muchas veces podemos encontrarlo al usar manipulación algebraica.

Factoriza el numerador y encuentra el límite.

En las próximas preguntas, miraremos un ejemplo interesante y un poco extraño.

Vamos a mirar ejemplos de la forma:

Por ejemplo, \(f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}, ~f(0)=0\) y \(f(\frac{2}{3})=0\).

La siguiente función es 0 casi en todas partes a excepción de los puntos \(\frac{1}{n}\), los cuales se ubican en la línea y=x. La siguiente es una parte la gráfica de f.

¿Cuál es el límite de la función f(x) a medida que x se acerca a \(\frac{2}{5}\)?

¿A qué es igual \(\lim_{x\to \frac{1}{4}}⁡ f(x)\)?