Importancia de Derivadas

En esta lección, miraremos lo que significan las derivadas intuitivamente y conoceremos su importancia.

¿Cuál de las siguientes son razones convincentes para estudiar derivadas?

A: Las derivadas nos dan información sobre la función original que no es obvia de la fórmula de la función.

B: Las derivadas son necesarias para hacer rigurosas ciertas ideas en el mundo real, como la velocidad instantánea.

C: Las derivadas son un ejemplo de una forma indeterminada 0/0, es decir, el límite de una fracción a medida que el numerador y el denominador se acercan a 0.

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Podemos considerar que una función está incrementando en un intervalo (a, b) si es que se está moviendo hacia arriba a medida que nos movemos a través del intervalo de izquierda a derecha. En las siguientes gráficas, la función f está incrementando durante todo el intervalo (a, b). La función g se mueve hacia arriba en general, pero está incrementando sólo en los intervalos (a, b) y (c, d) y decreciendo en (b, c).

¿Cuál de estas es una definición de lo que significa que f esté incrementando en el intervalo (a, b)?

En las opciones, z es simplemente otro número en el intervalo (a, b).

La derivada nos dice que, si es que \(f'(z)>0\), y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está incrementando en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.

¿Cuál de las siguientes es una razón por la que esto es verdadero?

Razón 1: Si es que \(f'(z)>0\), entonces la pendiente de la línea tangente z es positiva, por lo que la gráfica está incrementando cerca a z.

Razón 2: \(f'(z)\) representa la tasa de variación de f en z. Si es que esto es un número positivo, entonces el cambio en f sobre el cambio en x es positivo, por lo que a medida que x incrementa, f(x) también incrementa.

Razón 3: Si es que empezamos en z y empujamos a x un poco hacia la derecha, f(x) cambia por \(f'(z)\) veces la cantidad que cambiamos a x. Si es que este factor es positivo, entonces f(x) cambia por una cantidad positiva, por lo que f incrementa cerca a z.

Ahora exploremos un poco los extremos locales. Hay dos tipos de extremos locales: un máximo local que corresponde a la cima de una pequeña montaña en la gráfica de una función y un mínimo local que corresponde al fondo de un pequeño valle.

Por ejemplo, en la siguiente gráfica, f tiene un máximo local en b y un mínimo local en c.

¿Cuál de las siguientes es una definición de lo que significa que f tenga un máximo local en b?

A: Para un intervalo I que contiene b, f(x)≥f(b) para todas x≠b en I.

B: Para un intervalo I que contiene b, f(x)≤f(b) para todas x≠b en I.

¿Es verdad que si una función f tiene extremos locales en c, (máximos locales o mínimos locales) y f es diferenciable en z, entonces \(f’ (z)=0\)?

¿Es verdad que si la derivada \(f'(z)=0\), entonces, f tiene un extremo local (máximo local o mínimo local) en z?

Esto es lo que hemos encontrado sobre la relación entre una función y su derivada:

♦ Si es que \(f'(z)>0\) y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está incrementando en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.

♦ Si es que \(f'(z)<0\) y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está decreciendo en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.

♦ Si es que f tiene un máximo local o mínimo local en z y f es diferenciable en z, entonces \(f'(z)=0\).

♦ \(f'(z)=0\) no implica necesariamente que f tiene un máximo local o mínimo local en z.

La siguiente es la gráfica de la función f.

¿Cuál de las siguientes podría ser la gráfica de \(f’\)?

La siguiente es la gráfica de la función f.

¿Cuál de las siguientes podría ser la gráfica de \(f’\)?

Ahora, tenemos el caso opuesto. La siguiente es la gráfica de la derivada de una función:

¿Cuál de las siguientes gráficas podría representar a la función original?

En el siguiente diagrama tenemos las gráficas de la función f y su derivada \(f’\). ¿Cuál es cuál?