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En esta lección, miraremos lo que significan las derivadas intuitivamente y conoceremos su importancia.
¿Cuál de las siguientes son razones convincentes para estudiar derivadas?
A: Las derivadas nos dan información sobre la función original que no es obvia de la fórmula de la función.
B: Las derivadas son necesarias para hacer rigurosas ciertas ideas en el mundo real, como la velocidad instantánea.
C: Las derivadas son un ejemplo de una forma indeterminada 0/0, es decir, el límite de una fracción a medida que el numerador y el denominador se acercan a 0.
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Podemos considerar que una función está incrementando en un intervalo (a, b) si es que se está moviendo hacia arriba a medida que nos movemos a través del intervalo de izquierda a derecha. En las siguientes gráficas, la función f está incrementando durante todo el intervalo (a, b). La función g se mueve hacia arriba en general, pero está incrementando sólo en los intervalos (a, b) y (c, d) y decreciendo en (b, c).
¿Cuál de estas es una definición de lo que significa que f esté incrementando en el intervalo (a, b)?
En las opciones, z es simplemente otro número en el intervalo (a, b).
La derivada nos dice que, si es que \(f'(z)>0\), y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está incrementando en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.
¿Cuál de las siguientes es una razón por la que esto es verdadero?
Razón 1: Si es que \(f'(z)>0\), entonces la pendiente de la línea tangente z es positiva, por lo que la gráfica está incrementando cerca a z.
Razón 2: \(f'(z)\) representa la tasa de variación de f en z. Si es que esto es un número positivo, entonces el cambio en f sobre el cambio en x es positivo, por lo que a medida que x incrementa, f(x) también incrementa.
Razón 3: Si es que empezamos en z y empujamos a x un poco hacia la derecha, f(x) cambia por \(f'(z)\) veces la cantidad que cambiamos a x. Si es que este factor es positivo, entonces f(x) cambia por una cantidad positiva, por lo que f incrementa cerca a z.
Ahora exploremos un poco los extremos locales. Hay dos tipos de extremos locales: un máximo local que corresponde a la cima de una pequeña montaña en la gráfica de una función y un mínimo local que corresponde al fondo de un pequeño valle.
Por ejemplo, en la siguiente gráfica, f tiene un máximo local en b y un mínimo local en c.
¿Cuál de las siguientes es una definición de lo que significa que f tenga un máximo local en b?
A: Para un intervalo I que contiene b, f(x)≥f(b) para todas x≠b en I.
B: Para un intervalo I que contiene b, f(x)≤f(b) para todas x≠b en I.
¿Es verdad que si una función f tiene extremos locales en c, (máximos locales o mínimos locales) y f es diferenciable en z, entonces \(f’ (z)=0\)?
¿Es verdad que si la derivada \(f'(z)=0\), entonces, f tiene un extremo local (máximo local o mínimo local) en z?
Esto es lo que hemos encontrado sobre la relación entre una función y su derivada:
♦ Si es que \(f'(z)>0\) y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está incrementando en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.
♦ Si es que \(f'(z)<0\) y \(f’\) es continua en un intervalo abierto que contiene a z, entonces f está decreciendo en un subintervalo más pequeño que también contiene a z.
♦ Si es que f tiene un máximo local o mínimo local en z y f es diferenciable en z, entonces \(f'(z)=0\).
♦ \(f'(z)=0\) no implica necesariamente que f tiene un máximo local o mínimo local en z.
La siguiente es la gráfica de la función f.
¿Cuál de las siguientes podría ser la gráfica de \(f’\)?
Observa en donde crece la función y en donde decrece.
La siguiente es la gráfica de la función f.
¿Cuál de las siguientes podría ser la gráfica de \(f’\)?
Observa en donde crece la función y en donde decrece.
Ahora, tenemos el caso opuesto. La siguiente es la gráfica de la derivada de una función:
¿Cuál de las siguientes gráficas podría representar a la función original?
En el siguiente diagrama tenemos las gráficas de la función f y su derivada \(f’\). ¿Cuál es cuál?