El Polinomio Áureo

Un polinomio puede ser considerado como un tipo especial de función f(x) la cual puede ser escrita como la suma de potencias enteras no negativas de una variable x, en donde cada potencia es multiplicada por un coeficiente. Los coeficientes pueden ser números enteros, números racionales, números reales y hasta números complejos.

¿Cuántas de las siguientes funciones son polinomios?

Las raíces de un polinomio f(x) son los valores de x que hacen que la función sea igual a cero.

¿Cuál es una raíz del siguiente polinomio?

Los polinomios tienen una gran variedad de aplicaciones y algunas de ellas son muy interesantes y sorprendentes. Por ejemplo, podemos usar polinomios para obtener el famoso número áureo también llamado razón áurea o divina proporción.

El número áureo es comúnmente encontrado en la naturaleza y tiene composiciones orgánicas y de aspecto natural que son estéticamente agradables a la vista.

El número áureo puede ser definido como la proporción de la longitud y ancho de un rectángulo áureo, el cual es un rectángulo que puede ser dividido en un cuadrado y un rectángulo que es similar al rectángulo original geométricamente.

Eso significa que si tenemos un rectángulo de 1 unidad de ancho y φ unidades de largo, como en la figura de arriba, entonces, para que sea un rectángulo áureo, debe ser el caso que:

El número áureo, representado por la letra griega “phi”, φ, es definido por la ecuación:

También podemos manipular la ecuación de la siguiente manera:

Al escribir el número áureo de esa forma, podemos ver que φ debe ser la raíz del polinomio x²-x-1.

Recordemos que si tenemos un polinomio cuadrático ax²+bx+c, podemos encontrar las raíces del polinomio usando la fórmula cuadrática:

Entonces, podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de x²-x-1. ¿Cuáles son las raíces de x²-x-1?

Como vimos en el anterior problema, el polinomio x²-x-1 tiene dos raíces \(\frac{1+\sqrt{5}}{2},~\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). Sin embargo, sólo una de estas raíces es el número áureo. ¿Cuál es el número áureo?

Un rectángulo áureo es definido como \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a-b}\), en donde a representa la longitud y b representa la altura. a y b son números reales y asumimos que a≥b.

¿Es posible tener un rectángulo áureo en el cual la longitud de sus lados sean valores enteros?