Dominio y Rango de Funciones Exponenciales

En las anteriores lecciones, vimos funciones exponenciales de la forma:

\(f(x)={{a}^x}\)

El dominio de la función \(f(x)={{a}^x}\) es todos los números reales. Esto significa que la gráfica de la función se extiende infinitamente en ambas direcciones.

El rango de la función \(f(x)={{a}^x}\) es todos los números reales positivos. Esto significa que la gráfica de la función nunca está bajo el eje x.

Cuando a>1, la gráfica de \(f(x)={{a}^x}\) se ve así:

Cuando 0<a<1, la gráfica de \(f(x)={{a}^x}\) se ve así:

¿A qué valor se acerca la siguiente función a medida que x se acerca a infinito?

\(f(x)={{0.3}^x}\)

Cuando el valor de a en la función \(f(x)={{a}^x}\) es negativo, la función deja de ser continua. Por lo tanto, por convención, el valor de a es restringido sólo a valores positivos.

Algunos valores de x, como x=4 o \(x=\frac{1}{5}\) producirán valores reales de salida, pero otros valores como \(x=\sqrt{2}\) o \(x=\frac{1}{2}\) no.

Por ejemplo, si es que tenemos a=-32:

Y si tenemos a=-4:

Si es que queremos restringir una función exponencial con base negativa a los números reales, el dominio es todos los números racionales con denominadores impares.

Asumiendo que en la función \(f(x)={{a}^x}, ~a>0\) y a≠1, ¿cuál es el rango de la función?

Si es que tenemos la función \(f(x)={{3}^x}\) definida en los números reales, ¿cuál es el dominio de su función inversa \({{f}^{-1}}\)?