Derivadas de Funciones Trigonométricas

En esta lección, exploraremos las derivadas de las funciones trigonométricas como f(x)=sin(x) o f(x)=cos(x).

Muchas situaciones de la vida real pueden ser modeladas con las funciones trigonométricas, estas situaciones incluyen movimiento periódico como péndulos, planetas orbitando al sol, resortes y más.

Un ejemplo es el movimiento de una masa colgando de un resorte:

\(F=-kx \Rightarrow mx»=-kx\)

Creado con GeoGebra, por Luciano Troilo

La solución a esta ecuación es una sinusoide:

\(F(t)=A \cos(\omega t-\phi)\)

en donde ω es la frecuencia de oscilación y A es la amplitud.

Empecemos considerando una función trigonométrica fundamental:

\(f(x)=\sin(x)\)

Hasta ahora, hemos visto cómo diferenciar polinomios, pero eso no nos ayuda para calcular la derivada de esta función. Las reglas del producto y del cociente tampoco nos ayudan, por lo que tendremos que usar la definición de límite.

Pero primero exploremos cómo se verá la derivada de la función seno cualitativamente. Sabemos que la función seno se repite con un periodo de 2π, es decir, f(x)=f(x+2π).

¿Qué periodo esperamos que tenga su derivada?

Sigamos explorando lo que podemos averiguar sobre la derivada. Ahora, miremos los valores extremos de \(\sin'(x)\), sus máximos y sus mínimos.

Mirando a la gráfica de sin⁡(x):

Para x en [0, 2π), ¿en dónde estará en su máximo/mínimo la derivada de la función, \(\sin'(x)\)?

En las anteriores preguntas observamos propiedades fundamentales de la derivada:

• Tiene un periodo de 2π.
• Tiene máximos en nπ para valores pares de n.
• Tiene mínimos en nπ para valores impares de n.
• Tiene ceros en nπ/2 para valores impares de n.

Tomando en cuenta estas propiedades, ¿cómo se ve la gráfica de \(\sin'(x)\)?

En la anterior pregunta vimos que, para la gráfica de la función \(f(x)=\sin(x),~ f’\) se ve así:

¿A qué función trigonométrica se parece esta función?

Hemos visto cualitativamente que la derivada de f=sin(x) se parece a cos(x).

Ahora probemos esto usando la definición de límite de la derivada en a=0:

Entonces, estableciendo a=0, tenemos:

Anteriormente ya hemos visto que este límite se acerca a 1.

Por lo tanto, \(\sin'(0)=1=\cos(0)\). En general, \(\sin'(0)=\cos(0)\).

La siguiente es la gráfica del coseno:

Teniendo en cuenta un argumento similar al que tuvimos anteriormente, ¿cuál esperas que sea la derivada del coseno?

Podríamos usar la definición de límite de una derivada para verificar que la derivada de cos(x) es -sin(x). Sin embargo, dado que ya sabemos cómo diferenciar seno, podemos obtener la fórmula correcta usando la siguiente identidad trigonométrica:

Si es que tenemos que f(x)=sin²(x)+cos²(x), entonces, la función f es la función constante 1, lo que implica que \(f'(x)=0\).

Por otro lado, al diferenciar y usando la regla del producto, tenemos:

Hasta ahora, hemos visto matemática e intuitivamente que las derivadas de coseno y de seno son:

La siguiente es la gráfica de \(\tan⁡(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

Siguiendo procedimientos similares a los anteriores y mirando en dónde la función tangente incrementa o decrece, ¿cuál de las siguientes gráficas podría representar a la derivada de la función tangente?

Usando lo que sabemos sobre \(\sin'(x)\) y \(\cos'(x)\), resulta fácil encontrar las derivadas del resto de funciones trigonométricas, tangente, secante, cosecante y cotangente.

Empecemos derivando \(\tan'(x)\) matemáticamente. Usando lo que sabes sobre \(\sin'(x)\) y \(\cos'(x)\), ¿a qué es igual \(\tan'(x)\)?

Usando lo que sabemos sobre \(\sin'(x)\) y \(\cos'(x),~ \tan'(x)\), resulta fácil encontrar las derivadas del resto de funciones trigonométricas.

¿Cuál es la derivada de sec(x)?