Derivadas de Exponenciales y Logaritmos

En esta lección, exploraremos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas usando la definición de límite de la derivada.

Obtengamos la derivada de \(f(x)={{5}^x}\). Empecemos por calcular la derivada en 0:

No es tan obvio cuál es el límite. Una opción es reemplazar por valores más y más pequeños de h:

Pareciera que el límite sí existe y se acerca a algún valor L=1.609…. Esto resulta ser verdadero y veremos cómo identificar a L.

Esto es sólo \(f’ (0)\), pero queremos la derivada en todos los puntos. Entonces, dejamos que a sea cualquier número real. ¿A qué es igual \(f’ (a)\) en términos de L?

Al cambiar la base del exponencial a \(f(x)={{10}^x}\), podemos usar el mismo razonamiento y mostrar que \(f'(a)=L\cdot {{10}^a}\), en donde L es \(f'(0)\). Esto significa que:

La función exponencial más importante sería la que tiene una derivada que es igual a sí misma, es decir que la constante L en la derivada es igual a 1.

Cuando tenemos b=2, es decir, \({{2}^x}\), la constante en frente de la derivada es aproximadamente C=0.693. La constante incrementa a medida que b incrementa, por lo que tiene sentido que hay una base exacta b para la cual la constante es 1. ¿En cuál de los siguientes rangos se encuentra ese base especial b?

El valor especial de b es la famosa constante llamada e. Siguiendo las calculaciones del anterior problema, obtenemos que e es aproximadamente 2.718. Al igual que π, e es una constante fundamental, hay varias maneras de calcularla y muchos problemas que nos ayuda a solucionar. Encontramos a e usando las derivadas de funciones exponenciales, pero también es posible encontrarla al mirar a logaritmos.

La definición de un logaritmo \(\log_{b}⁡(y)=x\) significa que \({{b}^x}=y\). Esto significa que el logaritmo de base b es la inversa de la función \({{b}^x}\).

El logaritmo con base e es llamado logaritmo natural y es denotado \(\ln(x)\). Entonces, \(\ln⁡(e)=1,~\[ln⁡({{e}^2})=2\).

Esta es la gráfica de y=ln⁡(x):

¿Cuál de las siguientes es la gráfica de su derivada?

Observa que las gráficas de \(y={{e}^x}\) y de y=ln(x) son imágenes espejo la una de la otra, es decir, una gráfica puede ser obtenida de la otra al intercambiar los valores de x y y, lo cual corresponde a dar una vuelta con respecto a la línea y=x.

Hemos visto que, la derivada de \({{e}^x}\) es \({{e}^x}\). Esto significa que, por ejemplo, la pendiente de la línea tangente a la gráfica \(y={{e}^x}\) en el punto (2, e²) es e².

¿Cuál es la pendiente de la línea tangente a la gráfica y=ln(x) en el punto (e², 2)?

En el anterior problema vimos que, la derivada de ln(x) en el punto \(x={{e}^2}\) es \(\frac{1}{{{e}^2}}\). No había mucho de especial sobre el valor e²: de hecho,

La función ln es la función inversa de \({{e}^x}\). Como vimos anteriormente, la derivada de f en a y \({{f}^{-1}}\) en b=f(a) son recíprocas. Entonces, para cualquier b>0, la derivada de ln en b es \(\frac{1}{{{e}^a}}\), en donde a=ln(b), lo cual es simplemente 1/b.

En la anterior página, vimos que la derivada de \(f(x)=\ln(x)\) es \(f'(x)=\frac{1}{x}\), por lo tanto, \(f'(1)=\frac{1}{1}=1\). Además, \(f'(1)\) puede ser escrita usando la definición de límite para descubrir algo interesante.

¿Qué podemos concluir al usar la definición del límite y \(f'(1)=1\)?

En la anterior pregunta vimos que, \(\frac{1}{x} \ln⁡(1+x)\) se acerca a 1 a medida que x se acerca a 0. Por las leyes de logaritmos, tenemos:

Al tomar el exponencial de ambos lados, obtenemos:

Esto nos da una manera fácil para aproximar e, al reemplazar un número pequeño en x. Por ejemplo,

Lo cual se aproxima al valor exacto de e=2.71828…

Veamos la derivada de la función \({{5}^x}\) con la que empezamos. Hemos visto que si es que \(f(x)={{5}^x}\), entonces:

En donde C es una constante igual a aproximadamente 1.609. Aquí veremos de donde sale la constante C.

Tenemos \(f(x)={{5}^x}\) y \(g(x)={{e}^x}\). Observa que \(5={{e}^{\ln⁡(5)}}\) ya que las funciones exponencial y logaritmo natural son inversas la una con la otra. Elevamos ambos lados a la potencia de x y usamos las leyes de los exponentes para obtener:

Entonces, \({{5}^x}={{e}^{x \ln⁡(5)}}\). Usando la regla de la cadena en el lado derecho, determina la derivada de \({{5}^x}\).

También tenemos situaciones de logaritmos que no son logaritmos naturales.

Teniendo en cuenta la relación entre \(\log_{10}⁡(x)\) y ln(x), determina la derivada de \(f(x)=\log_{10}⁡(x)\)?